Номер 237, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

237. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ длина каждого ребра равна $a$, точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 1 : 2$. Найдите угол между прямыми:

а) $AK$ и $DC$;

б) $BK$ и $AD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $PABCD$.

Длина каждого ребра $a$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK:KC = 1:2$.

Найти:

Угол между прямыми:

• a) AK и DC;
• б) BK и AD.

Решение

Поскольку длина каждого ребра пирамиды равна $a$, то в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Введем декартову систему координат с началом в точке $D$. Оси $Dx$ и $Dy$ направим вдоль ребер $DC$ и $DA$ соответственно. Ось $Dz$ направим перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

Координаты вершин основания:

$D = (0,0,0)$

$C = (a,0,0)$

$A = (0,a,0)$

$B = (a,a,0)$

Найдем координаты вершины $P$. Центр основания $O$ – это середина диагонали $AC$, то есть $O = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Высота пирамиды $PO$ перпендикулярна плоскости основания. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Длина отрезка $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $POA$ (где $P$ – вершина, $O$ – центр основания, $A$ – вершина основания) по теореме Пифагора $PO^2 = PA^2 - AO^2$.

$PO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Высота пирамиды $h = PO = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, координаты вершины $P = (a/2, a/2, a\sqrt{2}/2)$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK:KC = 1:2$. Используем формулу деления отрезка в данном отношении:

$\vec{K} = \frac{2\vec{P} + 1\vec{C}}{1+2} = \frac{2\vec{P} + \vec{C}}{3}$

$K = \frac{1}{3} \left( 2\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right) + (a,0,0) \right) = \frac{1}{3} \left( (a, a, a\sqrt{2}) + (a,0,0) \right) = \frac{1}{3} (2a, a, a\sqrt{2}) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

a) AK и DC;

Найдем векторы, задающие направления прямых $AK$ и $DC$.

Вектор $\vec{DC} = C - D = (a,0,0) - (0,0,0) = (a,0,0)$.

Вектор $\vec{AK} = K - A = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) - (0,a,0) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}-a, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{DC}| = \sqrt{a^2+0^2+0^2} = a$.

$|\vec{AK}| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{2a^2}{9}} = \sqrt{\frac{10a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{10}}{3}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AK} \cdot \vec{DC} = \left(\frac{2a}{3}\right)(a) + \left(-\frac{2a}{3}\right)(0) + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)(0) = \frac{2a^2}{3}$.

Косинус угла $\theta$ между прямыми $AK$ и $DC$ определяется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AK} \cdot \vec{DC}|}{|\vec{AK}| |\vec{DC}|} = \frac{\left|\frac{2a^2}{3}\right|}{\left(\frac{a\sqrt{10}}{3}\right)(a)} = \frac{\frac{2a^2}{3}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$

б) BK и AD.

Найдем векторы, задающие направления прямых $BK$ и $AD$.

Вектор $\vec{AD} = D - A = (0,0,0) - (0,a,0) = (0,-a,0)$.

Вектор $\vec{BK} = K - B = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) - (a,a,0) = \left(\frac{2a}{3}-a, \frac{a}{3}-a, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}, -\frac{2a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AD}| = \sqrt{0^2+(-a)^2+0^2} = a$.

$|\vec{BK}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{2a^2}{9}} = \sqrt{\frac{7a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{BK} \cdot \vec{AD} = \left(-\frac{a}{3}\right)(0) + \left(-\frac{2a}{3}\right)(-a) + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)(0) = \frac{2a^2}{3}$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми $BK$ и $AD$ определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{BK} \cdot \vec{AD}|}{|\vec{BK}| |\vec{AD}|} = \frac{\left|\frac{2a^2}{3}\right|}{\left(\frac{a\sqrt{7}}{3}\right)(a)} = \frac{\frac{2a^2}{3}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.

Следовательно, угол $\phi = \arccos\left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)$