Номер 241, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

241. Докажите, что:

а) прямая $ \frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4} $ параллельна плоскости $ -4x - 6y + 8z - 1 = 0 $;

б) прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $ -8x + 13y + 4z - 1 = 0 $, если $A(1; -2; 4)$, $B(-7; 11; 8)$.

Дано:
а) Уравнение прямой $L_1$: $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$
Уравнение плоскости $P_1$: $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$
б) Точки $A(1; -2; 4)$ и $B(-7; 11; 8)$
Уравнение плоскости $P_2$: $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$

Найти:
а) Доказать, что прямая $L_1$ параллельна плоскости $P_1$.
б) Доказать, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $P_2$.

Решение

а) прямая $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ параллельна плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$:
Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо, чтобы направляющий вектор прямой был ортогонален нормальному вектору плоскости. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.
Уравнение прямой задано в канонической форме $\frac{x-x_0}{l_x} = \frac{y-y_0}{l_y} = \frac{z-z_0}{l_z}$. Из уравнения прямой $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ получаем направляющий вектор прямой $L_1$: $\vec{l} = (5, 2, 4)$.
Уравнение плоскости задано в общем виде $Ax + By + Cz + D = 0$. Из уравнения плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$ получаем нормальный вектор плоскости $P_1$: $\vec{n} = (-4, -6, 8)$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{l}$ и $\vec{n}$: $ \vec{l} \cdot \vec{n} = l_x A + l_y B + l_z C $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = (5)(-4) + (2)(-6) + (4)(8) $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = -20 - 12 + 32 $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = -32 + 32 $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = 0 $
Так как скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно нулю, прямая параллельна плоскости.

Ответ: Прямая $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ параллельна плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$.

б) прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$, если $A(1; -2; 4), B(-7; 11; 8)$:
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы ее направляющий вектор был коллинеарен нормальному вектору плоскости. Это означает, что их соответствующие компоненты должны быть пропорциональны.
Найдем направляющий вектор прямой $AB$. Для этого вычтем координаты точки $A$ из координат точки $B$: $ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) $
$ \vec{AB} = (-7 - 1, 11 - (-2), 8 - 4) $
$ \vec{AB} = (-8, 13, 4) $
Таким образом, направляющий вектор прямой $AB$ равен $\vec{l}_{AB} = (-8, 13, 4)$.
Из уравнения плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$ получаем нормальный вектор плоскости $P_2$: $\vec{n} = (-8, 13, 4)$.
Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{l}_{AB}$ и $\vec{n}$: $ \frac{l_x}{A} = \frac{-8}{-8} = 1 $
$ \frac{l_y}{B} = \frac{13}{13} = 1 $
$ \frac{l_z}{C} = \frac{4}{4} = 1 $
Так как $\frac{l_x}{A} = \frac{l_y}{B} = \frac{l_z}{C} = 1$, векторы $\vec{l}_{AB}$ и $\vec{n}$ коллинеарны (пропорциональны). Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости.

Ответ: Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$.