Номер 239, страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

уровень А

239. Найдите угол, который образует вектор $\vec{a}(6; 2; -3)$ с плоскостью:

а) $3x - 2y + 6z - 1 = 0$;

б) $-3x - 4y + 7 = 0$.

Дано:

вектор $\vec{a} = (6; 2; -3)$

Найти:

угол, который образует вектор $\vec{a}$ с плоскостью:

Решение:

Угол $\phi$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, находится по формуле:$\sin \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{n} = (A; B; C)$ — нормальный вектор плоскости.

Сначала вычислим модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

а)

Дано:

плоскость $3x - 2y + 6z - 1 = 0$

Найти:

угол $\phi_1$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью.

Решение:

Для данной плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (3; -2; 6)$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и нормального вектора $\vec{n_1}$:

$\vec{a} \cdot \vec{n_1} = (6)(3) + (2)(-2) + (-3)(6) = 18 - 4 - 18 = -4$

Вычислим модуль нормального вектора $\vec{n_1}$:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_1$:

$\sin \phi_1 = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n_1}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n_1}|} = \frac{|-4|}{7 \cdot 7} = \frac{4}{49}$

Следовательно, угол $\phi_1$ равен:

$\phi_1 = \arcsin \left( \frac{4}{49} \right)$

Ответ: $\arcsin \left( \frac{4}{49} \right)$

б)

Дано:

плоскость $-3x - 4y + 7 = 0$

Найти:

угол $\phi_2$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью.

Решение:

Для данной плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (-3; -4; 0)$ (коэффициент при $z$ равен 0).

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и нормального вектора $\vec{n_2}$:

$\vec{a} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (2)(-4) + (-3)(0) = -18 - 8 + 0 = -26$

Вычислим модуль нормального вектора $\vec{n_2}$:

$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_2$:

$\sin \phi_2 = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|-26|}{7 \cdot 5} = \frac{26}{35}$

Следовательно, угол $\phi_2$ равен:

$\phi_2 = \arcsin \left( \frac{26}{35} \right)$

Ответ: $\arcsin \left( \frac{26}{35} \right)$