Номер 245, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

245. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $A(0; 0; 0)$, $B(1; 1; 1)$, $C(3; 2; 1)$ и $D(5; 4; 0)$.

Дано:

Координаты точек:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 1; 1)$
$C(3; 2; 1)$
$D(5; 4; 0)$

Перевод в СИ:

Координаты точек являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$.

Решение:

Для нахождения угла между двумя плоскостями необходимо определить нормальные векторы к каждой из них. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

1. Нахождение нормального вектора для плоскости $ABC$ ($n_1$).

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости $ABC$. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = B - A = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 0) = (1; 1; 1)$
$\vec{AC} = C - A = (3 - 0; 2 - 0; 1 - 0) = (3; 2; 1)$

Нормальный вектор $n_1$ к плоскости $ABC$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$n_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$n_1 = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$n_1 = \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(1 - 3) + \mathbf{k}(2 - 3)$
$n_1 = -1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$
Следовательно, $n_1 = (-1; 2; -1)$.

2. Нахождение нормального вектора для плоскости $ABD$ ($n_2$).

Аналогично, найдем два вектора, лежащих в плоскости $ABD$. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} = (1; 1; 1)$ (уже найден)
$\vec{AD} = D - A = (5 - 0; 4 - 0; 0 - 0) = (5; 4; 0)$

Нормальный вектор $n_2$ к плоскости $ABD$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AD}$:

$n_2 = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix}$
$n_2 = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 4) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 5) + \mathbf{k}(1 \cdot 4 - 1 \cdot 5)$
$n_2 = \mathbf{i}(0 - 4) - \mathbf{j}(0 - 5) + \mathbf{k}(4 - 5)$
$n_2 = -4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$
Следовательно, $n_2 = (-4; 5; -1)$.

3. Нахождение угла между нормальными векторами ($n_1$ и $n_2$).

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями (или между их нормальными векторами) определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|}$

Вычислим скалярное произведение $n_1 \cdot n_2$:

$n_1 \cdot n_2 = (-1) \cdot (-4) + (2) \cdot (5) + (-1) \cdot (-1)$
$n_1 \cdot n_2 = 4 + 10 + 1 = 15$

Вычислим модули векторов $n_1$ и $n_2$:

$|n_1| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$|n_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 25 + 1} = \sqrt{42}$

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{|15|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}} = \frac{15}{\sqrt{6 \cdot 42}} = \frac{15}{\sqrt{252}}$

Упростим знаменатель $\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$:

$\cos \phi = \frac{15}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\cos \phi = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$

Окончательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right)$

Ответ:

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $\arccos\left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right)$.