Номер 251, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

251. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $B_1C_1D$.

Дано

Правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Боковое ребро вдвое больше стороны основания.

Пусть длина стороны основания $a$. Тогда длина бокового ребра $AA_1 = 2a$.

Найти:

Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $B_1C_1D$.

Решение

Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин призмы будут:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0)$

$C=(a,a,0)$

$D=(0,a,0)$

$A_1=(0,0,2a)$

$B_1=(a,0,2a)$

$C_1=(a,a,2a)$

$D_1=(0,a,2a)$

Найдем вектор направления прямой $BD_1$.

Вектор $\vec{v} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, 2a-0) = (-a, a, 2a)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив на $a$: $\vec{v}' = (-1, 1, 2)$.

Далее найдем вектор нормали к плоскости $B_1C_1D$. Точки, принадлежащие этой плоскости, - $B_1(a,0,2a)$, $C_1(a,a,2a)$, $D(0,a,0)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{u} = \vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (a-a, a-0, 2a-2a) = (0, a, 0)$.

$\vec{w} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, 2a-0) = (a, -a, 2a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $B_1C_1D$ можно найти как векторное произведение $\vec{u} \times \vec{w}$:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & -a & 2a \end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot 2a - 0 \cdot (-a)) - \vec{j}(0 \cdot 2a - 0 \cdot a) + \vec{k}(0 \cdot (-a) - a \cdot a)$

$\vec{n} = (2a^2, 0, -a^2)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор нормали, разделив на $a^2$: $\vec{n}' = (2, 0, -1)$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью связан с углом $\alpha$ между вектором направления прямой $\vec{v}'$ и вектором нормали плоскости $\vec{n}'$ соотношением $\sin \theta = \frac{|\vec{v}' \cdot \vec{n}'|}{||\vec{v}'|| \cdot ||\vec{n}'||}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{v}' \cdot \vec{n}'$:

$\vec{v}' \cdot \vec{n}' = (-1)(2) + (1)(0) + (2)(-1) = -2 + 0 - 2 = -4$.

Вычислим длины векторов $||\vec{v}'||$ и $||\vec{n}'||$:

$||\vec{v}'|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$||\vec{n}'|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{30}}$.

Рационализируем знаменатель:

$\sin \theta = \frac{4\sqrt{30}}{30} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$.

Следовательно, искомый угол $\theta$ равен $\arcsin\left(\frac{2\sqrt{30}}{15}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{2\sqrt{30}}{15}\right)$