Номер 257, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

257. Исследуйте, лежит ли прямая $\begin{cases} 3x + y - z - 2 = 0 \\ 7x + y + z - 4 = 0 \end{cases}$, в плоскости $x + y - 2z - 1 = 0.$

Дано

Прямая $L$ задана как пересечение двух плоскостей:

$P_1: 3x + y - z - 2 = 0$

$P_2: 7x + y + z - 4 = 0$

Плоскость $P$ задана уравнением:

$P: x + y - 2z - 1 = 0$

Найти:

Лежит ли прямая $L$ в плоскости $P$?

Решение

Прямая $L$, заданная как пересечение двух плоскостей $P_1$ и $P_2$, лежит в плоскости $P$ тогда и только тогда, когда плоскость $P$ является линейной комбинацией плоскостей $P_1$ и $P_2$. Это означает, что существуют такие числа $\lambda$ и $\mu$ (не одновременно равные нулю), что уравнение плоскости $P$ может быть записано как:

$(x + y - 2z - 1) = \lambda (3x + y - z - 2) + \mu (7x + y + z - 4)$

Раскроем скобки и сгруппируем члены по $x, y, z$ и свободным членам:

$x + y - 2z - 1 = (3\lambda + 7\mu)x + (\lambda + \mu)y + (-\lambda + \mu)z + (-2\lambda - 4\mu)$

Приравниваем коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены с обеих сторон уравнения:

Для $x$: $1 = 3\lambda + 7\mu$ (1)

Для $y$: $1 = \lambda + \mu$ (2)

Для $z$: $-2 = -\lambda + \mu$ (3)

Для свободного члена: $-1 = -2\lambda - 4\mu$ (4)

Решим систему уравнений (2) и (3) для нахождения $\lambda$ и $\mu$.

Из уравнения (2) выразим $\mu$: $\mu = 1 - \lambda$.

Подставим это выражение для $\mu$ в уравнение (3):

$-2 = -\lambda + (1 - \lambda)$

$-2 = 1 - 2\lambda$

$2\lambda = 1 + 2$

$2\lambda = 3$

$\lambda = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $\mu$:

$\mu = 1 - \lambda = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Проверим найденные значения $\lambda = \frac{3}{2}$ и $\mu = -\frac{1}{2}$ в оставшихся уравнениях (1) и (4).

Проверка уравнения (1):

$3\lambda + 7\mu = 3\left(\frac{3}{2}\right) + 7\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью уравнения (1). Значения верны.

Проверка уравнения (4):

$-2\lambda - 4\mu = -2\left(\frac{3}{2}\right) - 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -3 + 2 = -1$

Левая часть равна $-1$, что совпадает с правой частью уравнения (4). Значения верны.

Поскольку найденные значения $\lambda$ и $\mu$ удовлетворяют всем четырем уравнениям, это означает, что плоскость $P$ действительно является линейной комбинацией плоскостей $P_1$ и $P_2$. Следовательно, прямая, образованная пересечением $P_1$ и $P_2$, полностью лежит в плоскости $P$.

Ответ:

Да, прямая лежит в плоскости.