Номер 256, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

256. Дан треугольник, вершины которого являются точки $A(-1; 3; 0)$, $B(0; 2; -5)$ и $C(4; -6; -1)$. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной медиане $AM$ этого треугольника.

Дано

Вершины треугольника: $A(-1; 3; 0)$, $B(0; 2; -5)$, $C(4; -6; -1)$.

Найти

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной медиане $AM$.

Решение

Для того чтобы составить уравнение плоскости, нам необходимы координаты точки, через которую проходит плоскость (точка $A$ дана), и вектор нормали к этой плоскости. Поскольку плоскость перпендикулярна медиане $AM$, вектор $\vec{AM}$ будет являться вектором нормали к искомой плоскости.

Сначала найдем координаты точки $M$, которая является серединой отрезка $BC$, так как $AM$ - это медиана. Координаты середины отрезка находятся по формуле:

$M_x = \frac{B_x + C_x}{2}$
$M_y = \frac{B_y + C_y}{2}$
$M_z = \frac{B_z + C_z}{2}$

Подставим координаты точек $B(0; 2; -5)$ и $C(4; -6; -1)$:

$M_x = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$M_y = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$M_z = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты точки $M$ составляют $(2; -2; -3)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{AM}$. Для этого вычтем координаты начала вектора ($A$) из координат конца вектора ($M$):

$\vec{AM} = (M_x - A_x; M_y - A_y; M_z - A_z)$

Подставим координаты точек $A(-1; 3; 0)$ и $M(2; -2; -3)$:

$\vec{AM} = (2 - (-1); -2 - 3; -3 - 0)$
$\vec{AM} = (3; -5; -3)$

Этот вектор $\vec{AM}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости. То есть, $\vec{n} = (3; -5; -3)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n}(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $A(-1; 3; 0)$ и компоненты вектора нормали $\vec{n}(3; -5; -3)$:

$3(x - (-1)) + (-5)(y - 3) + (-3)(z - 0) = 0$
$3(x + 1) - 5(y - 3) - 3z = 0$
$3x + 3 - 5y + 15 - 3z = 0$
$3x - 5y - 3z + 18 = 0$

Ответ:
Уравнение плоскости: $3x - 5y - 3z + 18 = 0$.