Номер 262, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

262. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = AD = 2$, $DD_1 = 4$. Найдите:

а) расстояние от точки $A$ до плоскости $C_1NK$, где $N$ – середина $BC$, $K$ – середина $DC$;

б) угол между прямой $AM$, где $M$ – центр грани $BB_1C_1C$, и плоскостью $BB_1D$;

в) угол между плоскостями $BB_1D$ и $ABC_1$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
$AB = 2$
$AD = 2$
$DD_1 = 4$
N - середина BC
K - середина DC
M - центр грани $BB_1C_1C$

Перевод в систему СИ:
Длина, ширина и высота параллелепипеда даны без указания единиц измерения. Будем считать, что они выражены в условных единицах длины, и производить расчеты в этих же единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
a) расстояние от точки A до плоскости $C_1NK$
б) угол между прямой AM и плоскостью $BB_1D$
в) угол между плоскостями $BB_1D$ и $ABC_1$

Решение:
Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной A. Ось x направим вдоль ребра AB, ось y вдоль ребра AD, ось z вдоль ребра $AA_1$. Тогда координаты вершин параллелепипеда будут: $A = (0, 0, 0)$
$B = (2, 0, 0)$
$D = (0, 2, 0)$
$A_1 = (0, 0, 4)$
$C = (2, 2, 0)$ (так как ABCD - прямоугольник с $AB=2$, $AD=2$)
$B_1 = (2, 0, 4)$
$D_1 = (0, 2, 4)$
$C_1 = (2, 2, 4)$

Найдем координаты точек N, K, M: N - середина BC: $N = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 1, 0)$
K - середина DC: $K = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 2, 0)$
M - центр грани $BB_1C_1C$. Эта грань является прямоугольником с вершинами B(2,0,0), $B_1$(2,0,4), $C_1$(2,2,4), C(2,2,0). Координаты центра грани - это среднее арифметическое координат ее вершин (или середина диагонали $BC_1$): $M = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (2, 1, 2)$

а) расстояние от точки A до плоскости C₁NK

Для определения расстояния от точки A(0, 0, 0) до плоскости $C_1NK$, сначала найдем уравнение этой плоскости. Используем точки $C_1(2, 2, 4)$, N(2, 1, 0), K(1, 2, 0). Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{NK} = K - N = (1-2, 2-1, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\vec{NC_1} = C_1 - N = (2-2, 2-1, 4-0) = (0, 1, 4)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $C_1NK$ можно найти как векторное произведение $\vec{NK} \times \vec{NC_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 4\vec{i} + 4\vec{j} - 1\vec{k} = (4, 4, -1)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем нормальный вектор $(4, 4, -1)$ и точку N(2, 1, 0): $4(x - 2) + 4(y - 1) - 1(z - 0) = 0$
$4x - 8 + 4y - 4 - z = 0$
$4x + 4y - z - 12 = 0$

Расстояние от точки $A(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Для точки A(0, 0, 0) и плоскости $4x + 4y - z - 12 = 0$: $d = \frac{|4(0) + 4(0) - (0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 16 + 1}} = \frac{12}{\sqrt{33}}$
Рационализируем знаменатель: $d = \frac{12\sqrt{33}}{33} = \frac{4\sqrt{33}}{11}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{33}}{11}$

б) угол между прямой AM, где M – центр грани BB₁C₁C, и плоскостью BB₁D

Для определения угла между прямой AM и плоскостью $BB_1D$, найдем направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости. Точка A = (0, 0, 0), точка M = (2, 1, 2). Направляющий вектор прямой AM: $\vec{AM} = M - A = (2, 1, 2)$
Длина вектора $|\vec{AM}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

Плоскость $BB_1D$ проходит через точки B(2, 0, 0), $B_1$(2, 0, 4), D(0, 2, 0). Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{B_1B} = B - B_1 = (2-2, 0-0, 0-4) = (0, 0, -4)$
$\vec{BD} = D - B = (0-2, 2-0, 0-0) = (-2, 2, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BB_1D}$ к плоскости $BB_1D$: $\vec{n}_{BB_1D} = \vec{B_1B} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-4) \cdot 2) - \vec{j}(0 \cdot 0 - (-4) \cdot (-2)) + \vec{k}(0 \cdot 2 - 0 \cdot (-2))$
$\vec{n}_{BB_1D} = 8\vec{i} - 8\vec{j} + 0\vec{k} = (8, -8, 0)$. Можно использовать более простой нормальный вектор, пропорциональный ему, например $\vec{n}'_{BB_1D} = (1, -1, 0)$ (разделив на 8). Длина вектора $|\vec{n}'_{BB_1D}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью связан с углом $\alpha$ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением $\sin \phi = |\cos \alpha|$. $\cos \alpha = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{n}'_{BB_1D}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{n}'_{BB_1D}|}$
Скалярное произведение $\vec{AM} \cdot \vec{n}'_{BB_1D} = (2)(1) + (1)(-1) + (2)(0) = 2 - 1 + 0 = 1$
$\cos \alpha = \frac{|1|}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$
Тогда $\sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{6}$
Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$

в) угол между плоскостями BB₁D и ABC₁

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальный вектор для плоскости $BB_1D$ уже найден в пункте б): $\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$
Длина вектора $|\vec{n}_1| = \sqrt{2}$

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости $ABC_1$. Точки: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), $C_1$(2, 2, 4). Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{AB} = B - A = (2, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (2, 2, 4)$

Нормальный вектор $\vec{n}_2$ к плоскости $ABC_1$: $\vec{n}_2 = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 4 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 4 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2)$
$\vec{n}_2 = 0\vec{i} - 8\vec{j} + 4\vec{k} = (0, -8, 4)$. Можно использовать более простой нормальный вектор $\vec{n}'_2 = (0, -2, 1)$ (разделив на 4). Длина вектора $|\vec{n}'_2| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$

Пусть $\theta$ - угол между плоскостями. Тогда $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}'_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}'_2|}$. Скалярное произведение $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}'_2 = (1)(0) + (-1)(-2) + (0)(1) = 0 + 2 + 0 = 2$
$\cos \theta = \frac{|2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$
Рационализируем знаменатель: $\cos \theta = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$