Номер 267, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

267. Существует ли плоскость, которой принадлежат точки $A(3; 4; 5)$, $B(3; 5; 4)$, $C(4; 3; 5)$, $D(4; 5; 3)$, $M(5; 3; 4)$, $N(5; 4; 3)$? Если существует, то найдите расстояние от начала координат до такой плоскости.

Дано

Точки:

$A(3; 4; 5)$

$B(3; 5; 4)$

$C(4; 3; 5)$

$D(4; 5; 3)$

$M(5; 3; 4)$

$N(5; 4; 3)$

Перевод всех данных в систему СИ: Не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти

1. Существует ли плоскость, которой принадлежат все данные точки?

2. Если такая плоскость существует, найти расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение

Для того чтобы проверить, существуют ли все данные точки в одной плоскости, мы можем выбрать три неколлинеарные точки для определения плоскости и затем проверить, лежат ли остальные точки на этой плоскости. Для проверки принадлежности точки плоскости, заданной тремя точками, можно использовать смешанное произведение векторов. Если смешанное произведение трех векторов, исходящих из одной точки и заканчивающихся в трех других точках, равно нулю, то эти четыре точки компланарны.

Выберем точку $A(3; 4; 5)$ как базовую точку. Найдем векторы, исходящие из $A$ к другим точкам:

$\vec{AB} = B - A = (3-3; 5-4; 4-5) = (0; 1; -1)$

$\vec{AC} = C - A = (4-3; 3-4; 5-5) = (1; -1; 0)$

$\vec{AD} = D - A = (4-3; 5-4; 3-5) = (1; 1; -2)$

$\vec{AM} = M - A = (5-3; 3-4; 4-5) = (2; -1; -1)$

$\vec{AN} = N - A = (5-3; 4-4; 3-5) = (2; 0; -2)$

Сначала найдем вектор нормали к плоскости, проходящей через $A$, $B$, $C$. Этот вектор является результатом векторного произведения $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)$

$\vec{n} = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(0 - 1) = -1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (-1; -1; -1)$

Чтобы проверить, лежат ли точки $D$, $M$, $N$ в этой же плоскости, мы должны убедиться, что смешанное произведение векторов $\vec{n}$ (или $\vec{AB} \times \vec{AC}$) и $\vec{AD}$, $\vec{AM}$, $\vec{AN}$ соответственно равно нулю.

Проверка для точки $D$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = (-1)(1) + (-1)(1) + (-1)(-2) = -1 - 1 + 2 = 0$

Следовательно, точка $D$ лежит в той же плоскости.

Проверка для точки $M$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = (-1)(2) + (-1)(-1) + (-1)(-1) = -2 + 1 + 1 = 0$

Следовательно, точка $M$ лежит в той же плоскости.

Проверка для точки $N$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AN} = (-1)(2) + (-1)(0) + (-1)(-2) = -2 + 0 + 2 = 0$

Следовательно, точка $N$ лежит в той же плоскости.

Так как смешанное произведение для всех комбинаций равно нулю, все данные точки являются компланарными, т.е. они лежат в одной плоскости. Таким образом, такая плоскость существует.

Теперь найдем уравнение этой плоскости. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (-1; -1; -1)$. Уравнение плоскости можно записать как $-x - y - z + D_{plane} = 0$, или, умножив на -1, $x + y + z - D_{plane} = 0$.

Подставим координаты одной из точек, например $A(3; 4; 5)$, в уравнение для нахождения $D_{plane}$:

$3 + 4 + 5 - D_{plane} = 0$

$12 - D_{plane} = 0$

$D_{plane} = 12$

Следовательно, уравнение плоскости: $x + y + z - 12 = 0$.

Далее, найдем расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости. Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$, и уравнение плоскости $1x + 1y + 1z - 12 = 0$. Таким образом, $A = 1, B = 1, C = 1, D_{plane} = -12$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-12|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{12}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{12\sqrt{3}}{3}$

$d = 4\sqrt{3}$

Ответ:

Плоскость, которой принадлежат все данные точки, существует. Расстояние от начала координат до этой плоскости составляет $4\sqrt{3}$.