Номер 264, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

264. Две вершины правильного тетраэдра $PABC$ лежат на оси $Ox$, а третьей является точка $(0; 6; 0)$. Найдите высоту $PH$ этого тетраэдра.

Дано:

Правильный тетраэдр $PABC$.

Две вершины (пусть это $A$ и $B$) лежат на оси $Ox$.

Третья вершина $C = (0; 6; 0)$.

Найти:

Высоту $PH$ этого тетраэдра.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $PABC$.

Так как вершины $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$, их координаты можно обозначить как $A(x_A, 0, 0)$ и $B(x_B, 0, 0)$.

Третья вершина $C$ имеет координаты $(0, 6, 0)$.

Поскольку тетраэдр является правильным, все его ребра имеют одинаковую длину. Следовательно, длины ребер $AC$, $BC$ и $AB$ равны $a$.

Используем формулу расстояния между точками для вычисления квадратов длин этих ребер:

$AC^2 = (x_A - 0)^2 + (0 - 6)^2 + (0 - 0)^2 = x_A^2 + (-6)^2 + 0^2 = x_A^2 + 36$.

$BC^2 = (x_B - 0)^2 + (0 - 6)^2 + (0 - 0)^2 = x_B^2 + (-6)^2 + 0^2 = x_B^2 + 36$.

$AB^2 = (x_A - x_B)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = (x_A - x_B)^2$.

Поскольку $AC^2 = BC^2 = a^2$, получаем равенство:

$x_A^2 + 36 = x_B^2 + 36$.

Отсюда следует, что $x_A^2 = x_B^2$. Это означает, что $x_A = x_B$ или $x_A = -x_B$.

Если бы $x_A = x_B$, то точки $A$ и $B$ совпадали бы, что невозможно для вершин тетраэдра.

Следовательно, $x_A = -x_B$.

Пусть $x_A = x_0$. Тогда $x_B = -x_0$.

Таким образом, координаты вершин $A$ и $B$ равны $A(x_0, 0, 0)$ и $B(-x_0, 0, 0)$.

Теперь выразим $a^2$ через $x_0$, используя $AC^2$ и $AB^2$:

$a^2 = AC^2 = x_0^2 + 36$.

$a^2 = AB^2 = (x_0 - (-x_0))^2 = (2x_0)^2 = 4x_0^2$.

Приравниваем эти два выражения для $a^2$:

$x_0^2 + 36 = 4x_0^2$.

$36 = 4x_0^2 - x_0^2$.

$36 = 3x_0^2$.

$x_0^2 = \frac{36}{3}$.

$x_0^2 = 12$.

Извлекаем квадратный корень: $x_0 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Возьмем, например, $x_0 = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем длину ребра $a$ тетраэдра:

$a = \sqrt{4x_0^2} = \sqrt{4 \cdot 12} = \sqrt{48}$.

$a = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Высота $h$ правильного тетраэдра с ребром длиной $a$ вычисляется по формуле:

$h = a \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Подставляем найденное значение $a = 4\sqrt{3}$ в формулу высоты:

$h = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Сокращаем $\sqrt{3}$:

$h = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, высота $PH$ этого тетраэдра равна $4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$