Номер 269, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

269. Найдите значение k, при котором прямая, содержащая вектор $\vec{a} (1; 0; -1)$, образует угол, равный $30^\circ$, с плоскостью:

а) $y + kz - 3 = 0$;

б) $-x + ky + z - 4 = 0$.

Дано:

Направляющий вектор прямой $\vec{l} = \vec{a} = (1; 0; -1)$.

Угол $\phi = 30^\circ$ между прямой и плоскостью.

Найти:

Значение $k$ для плоскостей:

a) $y + kz - 3 = 0$

б) $-x + ky + z - 4 = 0$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$:$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$

Модуль направляющего вектора прямой $\vec{l} = (1; 0; -1)$ равен:

$|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Известно, что угол $\phi = 30^\circ$, поэтому $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

a)

Уравнение плоскости: $y + kz - 3 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_1$ определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$. В данном случае $x$ отсутствует, значит его коэффициент равен 0. Таким образом, $\vec{n}_1 = (0; 1; k)$.

Модуль нормального вектора $\vec{n}_1$:

$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + k^2} = \sqrt{1 + k^2}$

Скалярное произведение направляющего вектора прямой $\vec{l}$ и нормального вектора плоскости $\vec{n}_1$:

$\vec{l} \cdot \vec{n}_1 = (1)(0) + (0)(1) + (-1)(k) = 0 + 0 - k = -k$

Подставим известные значения в формулу для синуса угла:

$\frac{1}{2} = \frac{|-k|}{\sqrt{2} \sqrt{1 + k^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней и модуля:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{|k|}{\sqrt{2} \sqrt{1 + k^2}}\right)^2$

$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(1 + k^2)}$

$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2 + 2k^2}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (2 + 2k^2) = 4 \cdot k^2$

$2 + 2k^2 = 4k^2$

$2k^2 = 2$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$

Ответ: $k = \pm 1$

б)

Уравнение плоскости: $-x + ky + z - 4 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_2$ определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$. В данном случае $\vec{n}_2 = (-1; k; 1)$.

Модуль нормального вектора $\vec{n}_2$:

$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + k^2 + 1^2} = \sqrt{1 + k^2 + 1} = \sqrt{2 + k^2}$

Скалярное произведение направляющего вектора прямой $\vec{l}$ и нормального вектора плоскости $\vec{n}_2$:

$\vec{l} \cdot \vec{n}_2 = (1)(-1) + (0)(k) + (-1)(1) = -1 + 0 - 1 = -2$

Подставим известные значения в формулу для синуса угла:

$\frac{1}{2} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}\right)^2$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{2(2 + k^2)}$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{4 + 2k^2}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (4 + 2k^2) = 4 \cdot 4$

$4 + 2k^2 = 16$

$2k^2 = 16 - 4$

$2k^2 = 12$

$k^2 = 6$

$k = \pm \sqrt{6}$

Ответ: $k = \pm \sqrt{6}$