Страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

266. Найдите площадь поверхности тетраэдра, вершинами которого являются начало координат и точки пересечения плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$ с осями координат.

Дано:

Плоскость задана уравнением: $5x - 2y - 4z - 20 = 0$.

Одна из вершин тетраэдра - начало координат $O(0, 0, 0)$.

Остальные вершины - точки пересечения данной плоскости с осями координат.

Найти:

Площадь поверхности тетраэдра.

Решение:

1. Определение координат вершин тетраэдра.

Одна вершина тетраэдра - это начало координат $O(0, 0, 0)$.

Найдем точки пересечения плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$ с координатными осями:

Пересечение с осью Ox (где $y=0, z=0$):

$5x - 2(0) - 4(0) - 20 = 0$

$5x - 20 = 0$

$5x = 20$

$x = 4$

Таким образом, первая точка $A(4, 0, 0)$.

Пересечение с осью Oy (где $x=0, z=0$):

$5(0) - 2y - 4(0) - 20 = 0$

$-2y - 20 = 0$

$-2y = 20$

$y = -10$

Таким образом, вторая точка $B(0, -10, 0)$.

Пересечение с осью Oz (где $x=0, y=0$):

$5(0) - 2(0) - 4z - 20 = 0$

$-4z - 20 = 0$

$-4z = 20$

$z = -5$

Таким образом, третья точка $C(0, 0, -5)$.

Вершины тетраэдра: $O(0, 0, 0)$, $A(4, 0, 0)$, $B(0, -10, 0)$, $C(0, 0, -5)$.

2. Вычисление площадей граней тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани. Три из них лежат в координатных плоскостях и являются прямоугольными треугольниками.

Площадь грани $S_{OAB}$ (в плоскости Oxy):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Ox и Oy.

Длина катета OA: $|4| = 4$.

Длина катета OB: $|-10| = 10$.

$S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{OAC}$ (в плоскости Oxz):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Ox и Oz.

Длина катета OA: $|4| = 4$.

Длина катета OC: $|-5| = 5$.

$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{OBC}$ (в плоскости Oyz):

Эта грань представляет собой прямоугольный треугольник с катетами вдоль осей Oy и Oz.

Длина катета OB: $|-10| = 10$.

Длина катета OC: $|-5| = 5$.

$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ квадратных единиц.

Площадь грани $S_{ABC}$ (в плоскости $5x - 2y - 4z - 20 = 0$):

Для вычисления площади этой грани используем векторное произведение двух векторов, лежащих на сторонах треугольника, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Вектор $\vec{AB} = B - A = (0-4, -10-0, 0-0) = (-4, -10, 0)$.

Вектор $\vec{AC} = C - A = (0-4, 0-0, -5-0) = (-4, 0, -5)$.

Векторное произведение $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$:

$\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -10 & 0 \\ -4 & 0 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-10)(-5) - (0)(0)) - \mathbf{j}((-4)(-5) - (0)(-4)) + \mathbf{k}((-4)(0) - (-10)(-4))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(50 - 0) - \mathbf{j}(20 - 0) + \mathbf{k}(0 - 40) = (50, -20, -40)$.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ равна половине модуля векторного произведения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{N}| = \frac{1}{2} \sqrt{50^2 + (-20)^2 + (-40)^2}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{2500 + 400 + 1600} = \frac{1}{2} \sqrt{4500}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{900 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.

3. Вычисление общей площади поверхности тетраэдра.

Общая площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей всех его граней:

$S_{total} = S_{OAB} + S_{OAC} + S_{OBC} + S_{ABC}$

$S_{total} = 20 + 10 + 25 + 15\sqrt{5}$

$S_{total} = 55 + 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.

Ответ:

Площадь поверхности тетраэдра составляет $55 + 15\sqrt{5}$ квадратных единиц.

267. Существует ли плоскость, которой принадлежат точки $A(3; 4; 5)$, $B(3; 5; 4)$, $C(4; 3; 5)$, $D(4; 5; 3)$, $M(5; 3; 4)$, $N(5; 4; 3)$? Если существует, то найдите расстояние от начала координат до такой плоскости.

Дано

Точки:

$A(3; 4; 5)$

$B(3; 5; 4)$

$C(4; 3; 5)$

$D(4; 5; 3)$

$M(5; 3; 4)$

$N(5; 4; 3)$

Перевод всех данных в систему СИ: Не требуется, так как координаты являются безразмерными величинами.

Найти

1. Существует ли плоскость, которой принадлежат все данные точки?

2. Если такая плоскость существует, найти расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение

Для того чтобы проверить, существуют ли все данные точки в одной плоскости, мы можем выбрать три неколлинеарные точки для определения плоскости и затем проверить, лежат ли остальные точки на этой плоскости. Для проверки принадлежности точки плоскости, заданной тремя точками, можно использовать смешанное произведение векторов. Если смешанное произведение трех векторов, исходящих из одной точки и заканчивающихся в трех других точках, равно нулю, то эти четыре точки компланарны.

Выберем точку $A(3; 4; 5)$ как базовую точку. Найдем векторы, исходящие из $A$ к другим точкам:

$\vec{AB} = B - A = (3-3; 5-4; 4-5) = (0; 1; -1)$

$\vec{AC} = C - A = (4-3; 3-4; 5-5) = (1; -1; 0)$

$\vec{AD} = D - A = (4-3; 5-4; 3-5) = (1; 1; -2)$

$\vec{AM} = M - A = (5-3; 3-4; 4-5) = (2; -1; -1)$

$\vec{AN} = N - A = (5-3; 4-4; 3-5) = (2; 0; -2)$

Сначала найдем вектор нормали к плоскости, проходящей через $A$, $B$, $C$. Этот вектор является результатом векторного произведения $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)$

$\vec{n} = \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(0 - (-1)) + \vec{k}(0 - 1) = -1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (-1; -1; -1)$

Чтобы проверить, лежат ли точки $D$, $M$, $N$ в этой же плоскости, мы должны убедиться, что смешанное произведение векторов $\vec{n}$ (или $\vec{AB} \times \vec{AC}$) и $\vec{AD}$, $\vec{AM}$, $\vec{AN}$ соответственно равно нулю.

Проверка для точки $D$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = (-1)(1) + (-1)(1) + (-1)(-2) = -1 - 1 + 2 = 0$

Следовательно, точка $D$ лежит в той же плоскости.

Проверка для точки $M$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = (-1)(2) + (-1)(-1) + (-1)(-1) = -2 + 1 + 1 = 0$

Следовательно, точка $M$ лежит в той же плоскости.

Проверка для точки $N$:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AN} = (-1)(2) + (-1)(0) + (-1)(-2) = -2 + 0 + 2 = 0$

Следовательно, точка $N$ лежит в той же плоскости.

Так как смешанное произведение для всех комбинаций равно нулю, все данные точки являются компланарными, т.е. они лежат в одной плоскости. Таким образом, такая плоскость существует.

Теперь найдем уравнение этой плоскости. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (-1; -1; -1)$. Уравнение плоскости можно записать как $-x - y - z + D_{plane} = 0$, или, умножив на -1, $x + y + z - D_{plane} = 0$.

Подставим координаты одной из точек, например $A(3; 4; 5)$, в уравнение для нахождения $D_{plane}$:

$3 + 4 + 5 - D_{plane} = 0$

$12 - D_{plane} = 0$

$D_{plane} = 12$

Следовательно, уравнение плоскости: $x + y + z - 12 = 0$.

Далее, найдем расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости. Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$, и уравнение плоскости $1x + 1y + 1z - 12 = 0$. Таким образом, $A = 1, B = 1, C = 1, D_{plane} = -12$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-12|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{12}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{12\sqrt{3}}{3}$

$d = 4\sqrt{3}$

Ответ:

Плоскость, которой принадлежат все данные точки, существует. Расстояние от начала координат до этой плоскости составляет $4\sqrt{3}$.

268. Дана плоскость $20,2x + 20,25y + 20,3z + 20500 = 0$. Докажите, что расстояние от начала координат до этой плоскости, выраженное в метрах, меньше высоты горы Акбет, но больше высоты горы Айыртау.

Гора Акбет,
Павлодарская область

Гора Айыртау,
Северо-Казахстанская область

Дано:

Уравнение плоскости: $20.2x + 20.25y + 20.3z + 20500 = 0$

Координаты начала координат: $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$

Высота горы Акбет (из внешних источников): $H_{Акбет} = 1022 \, \text{м}$

Высота горы Айыртау (из внешних источников): $H_{Айыртау} = 530 \, \text{м}$

Перевод данных в систему СИ:

Все исходные данные уже представлены в единицах СИ или являются безразмерными коэффициентами, не требующими перевода.

Найти:

Доказать, что расстояние $d$ от начала координат до данной плоскости удовлетворяет условию $H_{Айыртау} < d < H_{Акбет}$.

Решение:

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данном случае, начало координат имеет координаты $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$. Коэффициенты уравнения плоскости: $A = 20.2$, $B = 20.25$, $C = 20.3$, $D = 20500$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|20.2(0) + 20.25(0) + 20.3(0) + 20500|}{\sqrt{(20.2)^2 + (20.25)^2 + (20.3)^2}}$

$d = \frac{|20500|}{\sqrt{408.04 + 410.0625 + 412.09}}$

$d = \frac{20500}{\sqrt{1230.1925}}$

Вычислим значение квадратного корня:

$\sqrt{1230.1925} \approx 35.0740916$

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d \approx \frac{20500}{35.0740916} \approx 584.423 \, \text{м}$

Сравним полученное расстояние с высотами гор:

Высота горы Акбет $H_{Акбет} = 1022 \, \text{м}$.

Высота горы Айыртау $H_{Айыртау} = 530 \, \text{м}$.

Нам необходимо доказать, что $H_{Айыртау} < d < H_{Акбет}$. Подставим числовые значения:

$530 \, \text{м} < 584.423 \, \text{м} < 1022 \, \text{м}$

Оба неравенства верны:

$530 < 584.423$ (истинно)

$584.423 < 1022$ (истинно)

Таким образом, расстояние от начала координат до данной плоскости ($584.423 \, \text{м}$) действительно меньше высоты горы Акбет ($1022 \, \text{м}$), но больше высоты горы Айыртау ($530 \, \text{м}$).

Ответ:

Утверждение доказано.

269. Найдите значение k, при котором прямая, содержащая вектор $\vec{a} (1; 0; -1)$, образует угол, равный $30^\circ$, с плоскостью:

а) $y + kz - 3 = 0$;

б) $-x + ky + z - 4 = 0$.

Дано:

Направляющий вектор прямой $\vec{l} = \vec{a} = (1; 0; -1)$.

Угол $\phi = 30^\circ$ между прямой и плоскостью.

Найти:

Значение $k$ для плоскостей:

a) $y + kz - 3 = 0$

б) $-x + ky + z - 4 = 0$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$:$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$

Модуль направляющего вектора прямой $\vec{l} = (1; 0; -1)$ равен:

$|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Известно, что угол $\phi = 30^\circ$, поэтому $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

a)

Уравнение плоскости: $y + kz - 3 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_1$ определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$. В данном случае $x$ отсутствует, значит его коэффициент равен 0. Таким образом, $\vec{n}_1 = (0; 1; k)$.

Модуль нормального вектора $\vec{n}_1$:

$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + k^2} = \sqrt{1 + k^2}$

Скалярное произведение направляющего вектора прямой $\vec{l}$ и нормального вектора плоскости $\vec{n}_1$:

$\vec{l} \cdot \vec{n}_1 = (1)(0) + (0)(1) + (-1)(k) = 0 + 0 - k = -k$

Подставим известные значения в формулу для синуса угла:

$\frac{1}{2} = \frac{|-k|}{\sqrt{2} \sqrt{1 + k^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней и модуля:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{|k|}{\sqrt{2} \sqrt{1 + k^2}}\right)^2$

$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(1 + k^2)}$

$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2 + 2k^2}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (2 + 2k^2) = 4 \cdot k^2$

$2 + 2k^2 = 4k^2$

$2k^2 = 2$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$

Ответ: $k = \pm 1$

б)

Уравнение плоскости: $-x + ky + z - 4 = 0$.

Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_2$ определяется коэффициентами при $x$, $y$, $z$. В данном случае $\vec{n}_2 = (-1; k; 1)$.

Модуль нормального вектора $\vec{n}_2$:

$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-1)^2 + k^2 + 1^2} = \sqrt{1 + k^2 + 1} = \sqrt{2 + k^2}$

Скалярное произведение направляющего вектора прямой $\vec{l}$ и нормального вектора плоскости $\vec{n}_2$:

$\vec{l} \cdot \vec{n}_2 = (1)(-1) + (0)(k) + (-1)(1) = -1 + 0 - 1 = -2$

Подставим известные значения в формулу для синуса угла:

$\frac{1}{2} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + k^2}}\right)^2$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{2(2 + k^2)}$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{4 + 2k^2}$

Перемножим крест-накрест:

$1 \cdot (4 + 2k^2) = 4 \cdot 4$

$4 + 2k^2 = 16$

$2k^2 = 16 - 4$

$2k^2 = 12$

$k^2 = 6$

$k = \pm \sqrt{6}$

Ответ: $k = \pm \sqrt{6}$

270. Даны точки B(-1; 2; 3) и C(-2; 3; 4). Какую фигуру образует множество всех точек M(x; y; z), для каждой из которых верно равенство $MB^2 - MC^2 = 16$? Запишите уравнение этой фигуры.

Дано:

Точки $B(-1; 2; 3)$ и $C(-2; 3; 4)$.

Множество точек $M(x; y; z)$ удовлетворяет условию $MB^2 - MC^2 = 16$.

Найти:

Фигуру, которую образует множество точек $M(x; y; z)$, и ее уравнение.

Решение:

Пусть координаты точки $M$ будут $(x, y, z)$, точки $B$ - $(-1, 2, 3)$, а точки $C$ - $(-2, 3, 4)$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Найдем $MB^2$:

$MB^2 = (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9)$

$MB^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14$

Найдем $MC^2$:

$MC^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$

$MC^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$

$MC^2 = (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 8z + 16)$

$MC^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y - 8z + 29$

Теперь подставим выражения для $MB^2$ и $MC^2$ в заданное равенство $MB^2 - MC^2 = 16$:

$(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14) - (x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y - 8z + 29) = 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 6z + 14 - x^2 - y^2 - z^2 - 4x + 6y + 8z - 29 = 16$

Члены $x^2, y^2, z^2$ взаимно уничтожаются. Сгруппируем подобные члены:

$(2x - 4x) + (-4y + 6y) + (-6z + 8z) + (14 - 29) = 16$

$-2x + 2y + 2z - 15 = 16$

Перенесем константу в правую часть уравнения:

$-2x + 2y + 2z = 16 + 15$

$-2x + 2y + 2z = 31$

или

$-2x + 2y + 2z - 31 = 0$

Это уравнение является линейным уравнением относительно $x, y, z$. Общий вид линейного уравнения в трехмерном пространстве $Ax + By + Cz + D = 0$ описывает плоскость.

Таким образом, множество всех точек $M(x; y; z)$, для каждой из которых верно равенство $MB^2 - MC^2 = 16$, образует плоскость.

Ответ:

Множество точек $M(x; y; z)$ образует плоскость. Уравнение этой фигуры: $-2x + 2y + 2z - 31 = 0$.

271. Даны векторы $\vec{AB} = 4\vec{i} + 2\vec{j}$, $\vec{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$. Найдите угол между прямыми AC и CB.

Дано:

Вектор $\vec{AB} = 4\vec{i} + 2\vec{j}$

Вектор $\vec{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$

Найти:

Угол между прямыми $AC$ и $CB$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между прямыми $AC$ и $CB$, нам необходимо найти координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{AC}$ задан в координатной форме как $(3, 4)$.

Вектор $\vec{CB}$ можно найти как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, так как $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$:

$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$

$\vec{CB} = (4\vec{i} + 2\vec{j}) - (3\vec{i} + 4\vec{j})$

$\vec{CB} = (4 - 3)\vec{i} + (2 - 4)\vec{j}$

$\vec{CB} = 1\vec{i} - 2\vec{j}$

Таким образом, координаты вектора $\vec{CB}$ равны $(1, -2)$.

Угол $\phi$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = (3)(1) + (4)(-2) = 3 - 8 = -5$

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{CB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-5}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

Здесь $\theta$ — это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$. Поскольку нас просят найти угол между прямыми $AC$ и $CB$, мы должны найти острый угол. Если косинус отрицателен, то угол между векторами тупой. Угол между прямыми будет острым, и его косинус будет равен абсолютному значению косинуса угла между векторами:

$\cos \phi = |\cos \theta| = \left|-\frac{\sqrt{5}}{5}\right| = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Следовательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ:

Угол между прямыми $AC$ и $CB$ равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

272. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{i}$ равен $120^\circ$, а между векторами $\vec{a}$ и $\vec{k}$ – $135^\circ$. Найдите угол между прямыми, на которых лежат векторы $\vec{a}$ и $\vec{j}$.

Дано:

Угол между вектором $ \vec{a} $ и ортом $ \vec{i} $: $ \alpha = 120^\circ $.

Угол между вектором $ \vec{a} $ и ортом $ \vec{k} $: $ \gamma = 135^\circ $.

Векторы $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $ являются ортонормированным базисом, то есть $ |\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 $ и они попарно ортогональны (например, $ \vec{i} \cdot \vec{j} = 0 $).

Перевод в СИ:

Углы: $ \alpha = 120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} $.

$ \gamma = 135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \text{ рад} $.

Для удобства расчетов с тригонометрическими функциями и ввиду того, что исходные данные представлены в градусах, дальнейшие вычисления будут производиться с использованием градусов.

Найти:

Угол $ \theta $ между прямыми, на которых лежат векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $.

Решение:

Пусть вектор $ \vec{a} $ имеет координаты $ (x, y, z) $ в ортонормированном базисе $ \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} $. Тогда $ \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $.

Длина вектора $ \vec{a} $ равна $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $.

Косинусы углов, которые вектор $ \vec{a} $ образует с ортами базиса, называются направляющими косинусами. Обозначим угол между $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $ как $ \beta $.

Из определения скалярного произведения векторов $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \phi $, где $ \phi $ - угол между векторами $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $.

Для угла $ \alpha $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{i} $:

$ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| |\vec{i}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{i} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{i} = x(\vec{i} \cdot \vec{i}) + y(\vec{j} \cdot \vec{i}) + z(\vec{k} \cdot \vec{i}) = x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = x $.

Так как $ |\vec{i}| = 1 $, получаем $ \cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|} $, откуда $ x = |\vec{a}| \cos \alpha $.

Для угла $ \gamma $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{k} $:

$ \cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{k}}{|\vec{a}| |\vec{k}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{k} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{k} = x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1 = z $.

Так как $ |\vec{k}| = 1 $, получаем $ \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} $, откуда $ z = |\vec{a}| \cos \gamma $.

Для угла $ \beta $ между $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $:

$ \cos \beta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| |\vec{j}|} $.

Скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{j} = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \cdot \vec{j} = x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = y $.

Так как $ |\vec{j}| = 1 $, получаем $ \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|} $, откуда $ y = |\vec{a}| \cos \beta $.

Известно, что для любого вектора $ \vec{a} $ с координатами $ (x, y, z) $, его квадрат длины равен сумме квадратов его координат: $ |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 $.

Подставим полученные выражения для $ x, y, z $:

$ |\vec{a}|^2 = (|\vec{a}| \cos \alpha)^2 + (|\vec{a}| \cos \beta)^2 + (|\vec{a}| \cos \gamma)^2 $

$ |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 \cos^2 \alpha + |\vec{a}|^2 \cos^2 \beta + |\vec{a}|^2 \cos^2 \gamma $

Поскольку $ |\vec{a}| $ не может быть равен нулю (иначе углы не были бы определены), мы можем разделить обе части уравнения на $ |\vec{a}|^2 $:

$ 1 = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma $.

Это тождество связывает направляющие косинусы вектора.

Подставим известные значения углов:

$ \alpha = 120^\circ $

$ \gamma = 135^\circ $

Вычислим значения косинусов:

$ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $

$ \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим эти значения в тождество:

$ 1 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \beta + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $

$ 1 = \frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{2}{4} $

$ 1 = \frac{1}{4} + \cos^2 \beta + \frac{1}{2} $

$ 1 = \frac{3}{4} + \cos^2 \beta $

$ \cos^2 \beta = 1 - \frac{3}{4} $

$ \cos^2 \beta = \frac{1}{4} $

$ \cos \beta = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} $

$ \cos \beta = \pm \frac{1}{2} $

Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $ может быть $ 60^\circ $ (если $ \cos \beta = \frac{1}{2} $) или $ 120^\circ $ (если $ \cos \beta = -\frac{1}{2} $).

Угол между прямыми, на которых лежат векторы, по определению является острым углом (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). Если $ \beta $ - угол между векторами, то угол между прямыми $ \theta = \arccos(|\cos \beta|) $.

Следовательно, $ \theta = \arccos\left(\left|\pm \frac{1}{2}\right|\right) $

$ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) $

$ \theta = 60^\circ $.

Ответ:

Угол между прямыми, на которых лежат векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{j} $, составляет $ 60^\circ $.

273. Дан тетраэдр $PABC$. Известны координаты его вершины $C(0; 4; 0)$ и точки $M(2; 3; -2)$ – середины ребра $AB$. Найдите высоту $PH$ этого тетраэдра, если $H$ принадлежит прямой $CM$, а координаты вершины $P$ равны:

а) $(1; 2; -1)$;

б) $(1; 2; 3)$.

Дано:

Координаты вершины $C(0; 4; 0)$

Координаты точки $M(2; 3; -2)$ - середины ребра $AB$

Высота тетраэдра $PH$, где точка $H$ принадлежит прямой $CM$.

Найти:

Длину высоты $PH$

Решение:

Высота тетраэдра $PH$ - это перпендикуляр, опущенный из вершины $P$ на плоскость основания $ABC$.

Точка $H$ является проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$.

По условию, точка $H$ принадлежит прямой $CM$. Так как прямая $CM$ лежит в плоскости $ABC$, и $H$ является проекцией $P$ на плоскость $ABC$, то вектор $\vec{PH}$ должен быть перпендикулярен любой прямой в плоскости $ABC$, проходящей через $H$. В частности, $\vec{PH}$ перпендикулярен прямой $CM$.

Следовательно, задача сводится к нахождению длины перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую $CM$.

Сначала найдем направляющий вектор прямой $CM$:

$\vec{CM} = M - C = (2-0, 3-4, -2-0) = (2, -1, -2)$.

Обозначим координаты точки $H$ на прямой $CM$ как $H(x_H, y_H, z_H)$. Точка $H$ лежит на прямой $CM$, поэтому ее координаты можно выразить параметрически:

$H = C + t \cdot \vec{CM} = (0, 4, 0) + t(2, -1, -2) = (2t, 4-t, -2t)$, где $t$ - некоторый скаляр.

Теперь рассмотрим две подзадачи в зависимости от координат вершины $P$.

Пусть координаты вершины $P$ равны $(1; 2; -1)$.

Найдем вектор $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = H - P = (2t - 1, (4-t) - 2, (-2t) - (-1)) = (2t - 1, 2 - t, 1 - 2t)$.

Поскольку $\vec{PH} \perp \vec{CM}$, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{PH} \cdot \vec{CM} = 0$.

$(2t - 1) \cdot 2 + (2 - t) \cdot (-1) + (1 - 2t) \cdot (-2) = 0$

$4t - 2 - 2 + t - 2 + 4t = 0$

$9t - 6 = 0$

$9t = 6$

$t = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Теперь подставим значение $t$ в выражение для вектора $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = (2 \cdot \frac{2}{3} - 1, 2 - \frac{2}{3}, 1 - 2 \cdot \frac{2}{3}) = (\frac{4}{3} - 1, \frac{6}{3} - \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

$\vec{PH} = (\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{1}{3})$.

Длина высоты $PH$ равна модулю вектора $\vec{PH}$:

$PH = |\vec{PH}| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^2}$

$PH = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{1+16+1}{9}} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Пусть координаты вершины $P$ равны $(1; 2; 3)$.

Найдем вектор $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = H - P = (2t - 1, (4-t) - 2, (-2t) - 3) = (2t - 1, 2 - t, -2t - 3)$.

Поскольку $\vec{PH} \perp \vec{CM}$, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{PH} \cdot \vec{CM} = 0$.

$(2t - 1) \cdot 2 + (2 - t) \cdot (-1) + (-2t - 3) \cdot (-2) = 0$

$4t - 2 - 2 + t + 4t + 6 = 0$

$9t + 2 = 0$

$9t = -2$

$t = -\frac{2}{9}$.

Теперь подставим значение $t$ в выражение для вектора $\vec{PH}$:

$\vec{PH} = (2 \cdot (-\frac{2}{9}) - 1, 2 - (-\frac{2}{9}), -2 \cdot (-\frac{2}{9}) - 3)$

$\vec{PH} = (-\frac{4}{9} - \frac{9}{9}, \frac{18}{9} + \frac{2}{9}, \frac{4}{9} - \frac{27}{9})$

$\vec{PH} = (-\frac{13}{9}, \frac{20}{9}, -\frac{23}{9})$.

Длина высоты $PH$ равна модулю вектора $\vec{PH}$:

$PH = |\vec{PH}| = \sqrt{(-\frac{13}{9})^2 + (\frac{20}{9})^2 + (-\frac{23}{9})^2}$

$PH = \sqrt{\frac{169}{81} + \frac{400}{81} + \frac{529}{81}} = \sqrt{\frac{169 + 400 + 529}{81}} = \sqrt{\frac{1098}{81}}$.

Упростим дробь под корнем. Числитель $1098$ и знаменатель $81$ делятся на $9$.

$\frac{1098}{81} = \frac{1098 \div 9}{81 \div 9} = \frac{122}{9}$.

$PH = \sqrt{\frac{122}{9}} = \frac{\sqrt{122}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{122}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{122}}{3}$.