Страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

250. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямой, проходящей через точки $M(-2; 0; -1)$ и $N(10; 3; 3)$, и плоскостью, параллельной оси $Oz$ и содержащей точки $A(1; -2; 0)$ и $B(3; 1; 0)$.

Дано:

Точки прямой: $M(-2; 0; -1)$, $N(10; 3; 3)$

Точки плоскости: $A(1; -2; 0)$, $B(3; 1; 0)$

Плоскость параллельна оси $Oz$.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. Найдем направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор прямой, проходящей через точки $M$ и $N$, можно найти как вектор $\vec{MN}$.

$\vec{l} = \vec{MN} = (N_x - M_x; N_y - M_y; N_z - M_z)$

$\vec{l} = (10 - (-2); 3 - 0; 3 - (-1)) = (12; 3; 4)$.

Модуль направляющего вектора: $||\vec{l}|| = \sqrt{12^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости.

Плоскость проходит через точки $A(1; -2; 0)$ и $B(3; 1; 0)$ и параллельна оси $Oz$.

Если плоскость параллельна оси $Oz$, это означает, что ее нормальный вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ перпендикулярен направляющему вектору оси $Oz$, который равен $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{k} = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow C = 0$.

Таким образом, нормальный вектор плоскости имеет вид $\vec{n}=(A, B, 0)$.

Вектор $\vec{AB}$ лежит в плоскости:

$\vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (3 - 1; 1 - (-2); 0 - 0) = (2; 3; 0)$.

Поскольку нормальный вектор $\vec{n}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{AB} = (A, B, 0) \cdot (2, 3, 0) = 2A + 3B + 0 \cdot 0 = 0$.

$2A + 3B = 0$.

Мы можем выбрать простые значения для $A$ и $B$, удовлетворяющие этому уравнению. Например, если $A=3$, то $2(3) + 3B = 0 \Rightarrow 6 + 3B = 0 \Rightarrow 3B = -6 \Rightarrow B = -2$.

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n}=(3; -2; 0)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n}|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13}$.

3. Вычислим угол между прямой и плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (12)(3) + (3)(-2) + (4)(0) = 36 - 6 + 0 = 30$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|30|}{13 \cdot \sqrt{13}} = \frac{30}{13\sqrt{13}}$

Для удобства вычислений домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:

$\sin \phi = \frac{30\sqrt{13}}{13 \cdot 13} = \frac{30\sqrt{13}}{169}$

Вычислим численное значение:

$\sqrt{13} \approx 3.605551275$

$\sin \phi \approx \frac{30 \cdot 3.605551275}{169} = \frac{108.16653825}{169} \approx 0.6399794867$

Найдем угол $\phi$ как арксинус этого значения:

$\phi = \arcsin(0.6399794867) \approx 39.794^\circ$

4. Округлим результат до 1 градуса.

$\phi \approx 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$

251. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $B_1C_1D$.

Дано

Правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Боковое ребро вдвое больше стороны основания.

Пусть длина стороны основания $a$. Тогда длина бокового ребра $AA_1 = 2a$.

Найти:

Угол между прямой $BD_1$ и плоскостью $B_1C_1D$.

Решение

Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин призмы будут:

$A=(0,0,0)$

$B=(a,0,0)$

$C=(a,a,0)$

$D=(0,a,0)$

$A_1=(0,0,2a)$

$B_1=(a,0,2a)$

$C_1=(a,a,2a)$

$D_1=(0,a,2a)$

Найдем вектор направления прямой $BD_1$.

Вектор $\vec{v} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, 2a-0) = (-a, a, 2a)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив на $a$: $\vec{v}' = (-1, 1, 2)$.

Далее найдем вектор нормали к плоскости $B_1C_1D$. Точки, принадлежащие этой плоскости, - $B_1(a,0,2a)$, $C_1(a,a,2a)$, $D(0,a,0)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{u} = \vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (a-a, a-0, 2a-2a) = (0, a, 0)$.

$\vec{w} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, 2a-0) = (a, -a, 2a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $B_1C_1D$ можно найти как векторное произведение $\vec{u} \times \vec{w}$:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & -a & 2a \end{vmatrix} = \vec{i}(a \cdot 2a - 0 \cdot (-a)) - \vec{j}(0 \cdot 2a - 0 \cdot a) + \vec{k}(0 \cdot (-a) - a \cdot a)$

$\vec{n} = (2a^2, 0, -a^2)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор нормали, разделив на $a^2$: $\vec{n}' = (2, 0, -1)$.

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью связан с углом $\alpha$ между вектором направления прямой $\vec{v}'$ и вектором нормали плоскости $\vec{n}'$ соотношением $\sin \theta = \frac{|\vec{v}' \cdot \vec{n}'|}{||\vec{v}'|| \cdot ||\vec{n}'||}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{v}' \cdot \vec{n}'$:

$\vec{v}' \cdot \vec{n}' = (-1)(2) + (1)(0) + (2)(-1) = -2 + 0 - 2 = -4$.

Вычислим длины векторов $||\vec{v}'||$ и $||\vec{n}'||$:

$||\vec{v}'|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

$||\vec{n}'|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{30}}$.

Рационализируем знаменатель:

$\sin \theta = \frac{4\sqrt{30}}{30} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$.

Следовательно, искомый угол $\theta$ равен $\arcsin\left(\frac{2\sqrt{30}}{15}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{2\sqrt{30}}{15}\right)$

252. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой, проходящей через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$, и плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $CC_1$.

Дано:

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $L$ проходит через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$.

Плоскость $\Pi$ проходит через середины ребер $AB, BB_1$ и $CC_1$.

Найти:

Угол между прямой $L$ и плоскостью $\Pi$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Определение прямой:

Прямая $L$ проходит через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$.

Центр грани $ABCD$ (пусть это точка $M_1$) находится как середина диагонали $AC$ или $BD$.

$M_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Центр грани $DD_1C_1C$ (это грань $CDD_1C_1$, пусть это точка $M_2$) находится как середина диагонали $DC_1$ или $D_1C$.

$M_2 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right)$.

Вектор направления прямой $L$ - это вектор $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{v} = \vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для удобства можем использовать более простой вектор, умножив на $\frac{2}{a}$: $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

Ответ:

Определение плоскости:

Плоскость $\Pi$ проходит через середины ребер $AB, BB_1$ и $CC_1$.

Пусть $P_1$ - середина ребра $AB$:

$P_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Пусть $P_2$ - середина ребра $BB_1$:

$P_2 = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Пусть $P_3$ - середина ребра $CC_1$:

$P_3 = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Для определения нормального вектора плоскости $\Pi$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$.

$\vec{u} = \vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = \left(a - \frac{a}{2}, 0 - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)$. Можем использовать $(1, 0, 1)$.

$\vec{w} = \vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = \left(a - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right)$. Можем использовать $(1, 2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ можно найти как векторное произведение $\vec{u} \times \vec{w}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = -2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-2, 0, 2)$.

Для удобства можем использовать более простой нормальный вектор: $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Ответ:

Вычисление угла между прямой и плоскостью:

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(-1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Модуль вектора $\vec{v}$:

$||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Модуль вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.

$\phi = 30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ:

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью составляет $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

253. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ и перпендикулярной прямой:

a) $\begin{cases} 3x - y - z - 1 = 0 \\ 2x + y + 3z + 4 = 0 \end{cases}$,

б) $\begin{cases} x + y + z - 5 = 0 \\ -x + 4y + 3 = 0 \end{cases}$.

Дано:

Точка $M(1; -1; 2)$.

Прямая задана пересечением двух плоскостей.

Найти:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной заданной прямой.

Решение:

Для того чтобы составить уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, нам необходимо знать нормальный вектор этой плоскости $\vec{N} = (A, B, C)$ и координаты точки $M(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит. Точка $M(1; -1; 2)$ задана, то есть $x_0=1$, $y_0=-1$, $z_0=2$.

Поскольку искомая плоскость перпендикулярна заданной прямой, то направляющий вектор этой прямой $\vec{l}$ является нормальным вектором искомой плоскости, то есть $\vec{N} = \vec{l}$.

Прямая задана как пересечение двух плоскостей. Если уравнения плоскостей имеют вид $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы равны $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ соответственно. Направляющий вектор прямой, которая является их пересечением, находится как векторное произведение этих нормальных векторов: $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

а)

Уравнения плоскостей, задающих прямую:

$3x - y - z - 1 = 0$

$2x + y + 3z + 4 = 0$

Нормальные векторы этих плоскостей:

$\vec{n_1} = (3, -1, -1)$

$\vec{n_2} = (2, 1, 3)$

Найдем направляющий вектор прямой $\vec{l_a}$ как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{l_a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(3) - (1)(-1)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(-1)) + \vec{k}((3)(1) - (2)(-1))$

$\vec{l_a} = \vec{i}(-3 + 1) - \vec{j}(9 + 2) + \vec{k}(3 + 2)$

$\vec{l_a} = -2\vec{i} - 11\vec{j} + 5\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости $\vec{N_a} = (-2, -11, 5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ с нормальным вектором $\vec{N_a} = (-2, -11, 5)$, имеет вид:

$-2(x - 1) - 11(y - (-1)) + 5(z - 2) = 0$

$-2(x - 1) - 11(y + 1) + 5(z - 2) = 0$

$-2x + 2 - 11y - 11 + 5z - 10 = 0$

$-2x - 11y + 5z - 19 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$2x + 11y - 5z + 19 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости: $2x + 11y - 5z + 19 = 0$

б)

Уравнения плоскостей, задающих прямую:

$x + y + z - 5 = 0$

$-x + 4y + 3 = 0$ (заметим, что коэффициент при $z$ равен $0$)

Нормальные векторы этих плоскостей:

$\vec{n_1} = (1, 1, 1)$

$\vec{n_2} = (-1, 4, 0)$

Найдем направляющий вектор прямой $\vec{l_b}$ как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{l_b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((1)(0) - (4)(1)) - \vec{j}((1)(0) - (-1)(1)) + \vec{k}((1)(4) - (-1)(1))$

$\vec{l_b} = \vec{i}(0 - 4) - \vec{j}(0 + 1) + \vec{k}(4 + 1)$

$\vec{l_b} = -4\vec{i} - 1\vec{j} + 5\vec{k}$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости $\vec{N_b} = (-4, -1, 5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(1; -1; 2)$ с нормальным вектором $\vec{N_b} = (-4, -1, 5)$, имеет вид:

$-4(x - 1) - 1(y - (-1)) + 5(z - 2) = 0$

$-4(x - 1) - 1(y + 1) + 5(z - 2) = 0$

$-4x + 4 - y - 1 + 5z - 10 = 0$

$-4x - y + 5z - 7 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$4x + y - 5z + 7 = 0$

Ответ:

Уравнение плоскости: $4x + y - 5z + 7 = 0$

254. Вектор $\vec{a} (1 - t; 4 + t; t)$ имеет наименьшую длину. Найдите угол между прямой, содержащей этот вектор, и плоскостью $4x - 4y + 2z - 7 = 0$.

Дано:

Вектор $\vec{a} = (1 - t; 4 + t; t)$

Плоскость $4x - 4y + 2z - 7 = 0$

Найти:

Угол между прямой, содержащей вектор $\vec{a}$ с наименьшей длиной, и данной плоскостью.

Решение:

Для начала найдем значение параметра $t$, при котором вектор $\vec{a}$ имеет наименьшую длину. Длина вектора $|\vec{a}|$ определяется как $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Минимизация длины равносильна минимизации квадрата длины:

$|\vec{a}|^2 = (1 - t)^2 + (4 + t)^2 + t^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$|\vec{a}|^2 = (1 - 2t + t^2) + (16 + 8t + t^2) + t^2$

$|\vec{a}|^2 = 1 - 2t + t^2 + 16 + 8t + t^2 + t^2$

$|\vec{a}|^2 = 3t^2 + 6t + 17$

Это квадратичная функция от $t$, график которой представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $t^2$ равен 3, что больше 0). Минимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата $t$ вершины параболы $At^2 + Bt + C$ находится по формуле $t = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A=3$, $B=6$, $C=17$.

$t = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$

Теперь подставим найденное значение $t = -1$ в координаты вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (1 - (-1); 4 + (-1); -1)$

$\vec{a} = (1 + 1; 4 - 1; -1)$

$\vec{a} = (2; 3; -1)$

Этот вектор $\vec{a}$ является направляющим вектором прямой, содержащей его. Обозначим его как $\vec{l} = (2; 3; -1)$.

Уравнение плоскости дано как $4x - 4y + 2z - 7 = 0$. Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$ в общем уравнении плоскости, то есть $\vec{n} = (4; -4; 2)$.

Угол $\phi$ между прямой, задаваемой направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, задаваемой нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| \cdot |\vec{n}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (2)(4) + (3)(-4) + (-1)(2)$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = 8 - 12 - 2$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = -6$

Вычислим длины векторов $|\vec{l}|$ и $|\vec{n}|$:

$|\vec{l}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|-6|}{\sqrt{14} \cdot 6}$

$\sin \phi = \frac{6}{6\sqrt{14}}$

$\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{14}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$\sin \phi = \frac{\sqrt{14}}{14}$

Угол $\phi$ находится как арксинус этого значения:

$\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{14}}{14}\right)$

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью равен $\arcsin\left(\frac{\sqrt{14}}{14}\right)$.

255. Дана прямая треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, каждое ребро которой равно 2. Точки $O$ и $O_1$ – середины ребер $AB$ и $A_1 B_1$ соответственно, точка $K$ принадлежит лучу $C_1 O_1$, причем $O_1 K = C_1 O_1$ (рисунок 105). Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между:

а) прямой $OK$ и плоскостью $ABC$;

б) плоскостями $ABC$ и $KBC_1$.

Рисунок 105

Дано

Прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина каждого ребра $a = 2$.

$O$ - середина ребра $AB$.

$O_1$ - середина ребра $A_1B_1$.

Точка $K$ принадлежит лучу $C_1O_1$, причём $O_1K = C_1O_1$.

Перевод в СИ

Все длины даны в относительных единицах. Для угловых вычислений перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Угол между:

а) прямой $OK$ и плоскостью $ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

б) плоскостями $ABC$ и $KBC_1$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат.

Расположим начало координат в точке $O$, которая является серединой ребра $AB$. Поскольку все ребра призмы равны 2, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 2. Призма прямая, поэтому боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Координаты вершин основания $ABC$:

• Так как $O$ — середина $AB$ и $AB=2$, то $OA=OB=1$. Пусть $AB$ лежит на оси $Ox$. Тогда $A=(-1,0,0)$ и $B=(1,0,0)$.
• Высота $CO$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=2$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Поскольку $O$ - начало координат, и $CO$ перпендикулярна $AB$, то $C$ будет лежать на оси $Oy$. Положим $C=(0,\sqrt{3},0)$.

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$. Высота призмы равна длине ребра, то есть 2. Значит, z-координаты вершин верхнего основания на 2 больше, чем у нижнего:

• $A_1=(-1,0,2)$
• $B_1=(1,0,2)$
• $C_1=(0,\sqrt{3},2)$

Найдем координаты точки $O_1$, которая является серединой ребра $A_1B_1$:

• $O_1 = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (0,0,2)$.

Найдем координаты точки $K$. Точка $K$ принадлежит лучу $C_1O_1$ и $O_1K = C_1O_1$. Это означает, что точка $O_1$ находится между $C_1$ и $K$, и вектор $\vec{O_1K}$ сонаправлен вектору $\vec{C_1O_1}$.

• Вектор $\vec{C_1O_1} = O_1 - C_1 = (0,0,2) - (0,\sqrt{3},2) = (0,-\sqrt{3},0)$.
• Длина отрезка $C_1O_1 = |\vec{C_1O_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.
• Так как $O_1K = C_1O_1$, то $O_1K = \sqrt{3}$.
• Поскольку $K$ лежит на луче $C_1O_1$ и $O_1K=C_1O_1$, это означает, что $\vec{O_1K} = \vec{C_1O_1}$.
• Координаты $K = O_1 + \vec{C_1O_1} = (0,0,2) + (0,-\sqrt{3},0) = (0,-\sqrt{3},2)$.

Итоговые координаты основных точек для расчетов:

• $O=(0,0,0)$
• $K=(0,-\sqrt{3},2)$
• $B=(1,0,0)$
• $C_1=(0,\sqrt{3},2)$

а) прямой OK и плоскостью ABC

Плоскость $ABC$ в данной системе координат совпадает с плоскостью $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ можно взять как $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Вектор направления прямой $OK$ — это вектор $\vec{v}_{OK} = K - O = (0,-\sqrt{3},2) - (0,0,0) = (0,-\sqrt{3},2)$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется формулой: $\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.

• Скалярное произведение векторов: $\vec{v}_{OK} \cdot \vec{n}_{ABC} = (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) + (2)(1) = 2$.
• Длина вектора $\vec{v}_{OK}$: $|\vec{v}_{OK}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{0+3+4} = \sqrt{7}$.
• Длина нормального вектора: $|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin \phi = \frac{|2|}{\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

Для нахождения угла $\phi$ возьмем арксинус:

$\phi = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$

Вычисляем значение:

$\frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.7559289

$\phi \approx 49.11^\circ$

Округляем до $1^\circ$.

Ответ: $49^\circ$

б) плоскостями ABC и KBC_1

Нормальный вектор к плоскости $ABC$ уже известен: $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Для нахождения нормального вектора к плоскости $KBC_1$ воспользуемся координатами точек $K=(0,-\sqrt{3},2)$, $B=(1,0,0)$ и $C_1=(0,\sqrt{3},2)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $KBC_1$:

• $\vec{BK} = K - B = (0,-\sqrt{3},2) - (1,0,0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)$.
• $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0,\sqrt{3},2) - (1,0,0) = (-1, \sqrt{3}, 2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{KBC_1}$ к плоскости $KBC_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n}_{KBC_1} = \vec{BK} \times \vec{BC_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -\sqrt{3} & 2 \\ -1 & \sqrt{3} & 2 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_{KBC_1} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(2) - (2)(\sqrt{3})) - \mathbf{j}((-1)(2) - (2)(-1)) + \mathbf{k}((-1)(\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1))$

$\vec{n}_{KBC_1} = \mathbf{i}(-2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3} - \sqrt{3})$

$\vec{n}_{KBC_1} = (-4\sqrt{3}, 0, -2\sqrt{3})$

Для удобства дальнейших вычислений, нормальный вектор можно упростить, разделив все компоненты на общий множитель $-2\sqrt{3}$. Получим $\vec{n}'_{KBC_1} = (2,0,1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется формулой: $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.

• Скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}'_{KBC_1} = (0)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 1$.
• Длина вектора $\vec{n}_{ABC}$: $|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
• Длина вектора $\vec{n}'_{KBC_1}$: $|\vec{n}'_{KBC_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Для нахождения угла $\theta$ возьмем арккосинус:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Вычисляем значение:

$\frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.4472136

$\theta \approx 63.43^\circ$

Округляем до $1^\circ$.

Ответ: $63^\circ$