Страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

240. Найдите угол, образованный прямой, на которой лежит вектор $ \vec{c}(-3; 0; 4) $, с плоскостью:

а) $4x + 6y + 3z = 0$;

б) $3x - 4z + 2 = 0$.

Дано:

Вектор, определяющий направление прямой: $\vec{c} = (-3; 0; 4)$.

Уравнение первой плоскости: $P_a: 4x + 6y + 3z = 0$.

Уравнение второй плоскости: $P_b: 3x - 4z + 2 = 0$.

Перевод данных в систему СИ: Данные величины являются безразмерными координатами и коэффициентами уравнений, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямой и плоскостью a) ($\theta_a$).

Угол между прямой и плоскостью б) ($\theta_b$).

Решение

Угол $\theta$ между прямой, на которой лежит вектор $\vec{l}$, и плоскостью, нормальный вектор которой $\vec{n}$, определяется формулой:

$\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

В нашем случае, вектор прямой $\vec{l} = \vec{c} = (-3; 0; 4)$.

Его длина:

$||\vec{c}|| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

a) $4x + 6y + 3z = 0$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n_a} = (4; 6; 3)$.

Его длина:

$||\vec{n_a}|| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61}$

Скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{n_a}$:

$\vec{c} \cdot \vec{n_a} = (-3)(4) + (0)(6) + (4)(3) = -12 + 0 + 12 = 0$

Теперь найдем синус угла $\theta_a$:

$\sin \theta_a = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{n_a}|}{||\vec{c}|| \cdot ||\vec{n_a}||} = \frac{|0|}{5 \cdot \sqrt{61}} = 0$

Следовательно, $\theta_a = \arcsin(0) = 0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

б) $3x - 4z + 2 = 0$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n_b} = (3; 0; -4)$.

Его длина:

$||\vec{n_b}|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{n_b}$:

$\vec{c} \cdot \vec{n_b} = (-3)(3) + (0)(0) + (4)(-4) = -9 + 0 - 16 = -25$

Теперь найдем синус угла $\theta_b$:

$\sin \theta_b = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{n_b}|}{||\vec{c}|| \cdot ||\vec{n_b}||} = \frac{|-25|}{5 \cdot 5} = \frac{25}{25} = 1$

Следовательно, $\theta_b = \arcsin(1) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

241. Докажите, что:

а) прямая $ \frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4} $ параллельна плоскости $ -4x - 6y + 8z - 1 = 0 $;

б) прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $ -8x + 13y + 4z - 1 = 0 $, если $A(1; -2; 4)$, $B(-7; 11; 8)$.

Дано:
а) Уравнение прямой $L_1$: $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$
Уравнение плоскости $P_1$: $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$
б) Точки $A(1; -2; 4)$ и $B(-7; 11; 8)$
Уравнение плоскости $P_2$: $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$

Найти:
а) Доказать, что прямая $L_1$ параллельна плоскости $P_1$.
б) Доказать, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $P_2$.

Решение

а) прямая $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ параллельна плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$:
Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо, чтобы направляющий вектор прямой был ортогонален нормальному вектору плоскости. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.
Уравнение прямой задано в канонической форме $\frac{x-x_0}{l_x} = \frac{y-y_0}{l_y} = \frac{z-z_0}{l_z}$. Из уравнения прямой $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ получаем направляющий вектор прямой $L_1$: $\vec{l} = (5, 2, 4)$.
Уравнение плоскости задано в общем виде $Ax + By + Cz + D = 0$. Из уравнения плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$ получаем нормальный вектор плоскости $P_1$: $\vec{n} = (-4, -6, 8)$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{l}$ и $\vec{n}$: $ \vec{l} \cdot \vec{n} = l_x A + l_y B + l_z C $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = (5)(-4) + (2)(-6) + (4)(8) $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = -20 - 12 + 32 $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = -32 + 32 $
$ \vec{l} \cdot \vec{n} = 0 $
Так как скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно нулю, прямая параллельна плоскости.

Ответ: Прямая $\frac{x+2}{5} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+4}{4}$ параллельна плоскости $-4x - 6y + 8z - 1 = 0$.

б) прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$, если $A(1; -2; 4), B(-7; 11; 8)$:
Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы ее направляющий вектор был коллинеарен нормальному вектору плоскости. Это означает, что их соответствующие компоненты должны быть пропорциональны.
Найдем направляющий вектор прямой $AB$. Для этого вычтем координаты точки $A$ из координат точки $B$: $ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) $
$ \vec{AB} = (-7 - 1, 11 - (-2), 8 - 4) $
$ \vec{AB} = (-8, 13, 4) $
Таким образом, направляющий вектор прямой $AB$ равен $\vec{l}_{AB} = (-8, 13, 4)$.
Из уравнения плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$ получаем нормальный вектор плоскости $P_2$: $\vec{n} = (-8, 13, 4)$.
Проверим условие коллинеарности векторов $\vec{l}_{AB}$ и $\vec{n}$: $ \frac{l_x}{A} = \frac{-8}{-8} = 1 $
$ \frac{l_y}{B} = \frac{13}{13} = 1 $
$ \frac{l_z}{C} = \frac{4}{4} = 1 $
Так как $\frac{l_x}{A} = \frac{l_y}{B} = \frac{l_z}{C} = 1$, векторы $\vec{l}_{AB}$ и $\vec{n}$ коллинеарны (пропорциональны). Следовательно, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости.

Ответ: Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $-8x + 13y + 4z - 1 = 0$.

242. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(3; 8; 1)$ и $B(-3; 5; 3)$, и плоскостью:

a) $xOy$;

б) $yOz$.

Дано:

Точки: $A(3; 8; 1)$, $B(-3; 5; 3)$.

Плоскости: а) $xOy$; б) $yOz$.

Перевод в СИ:

Координаты точек и плоскости заданы в декартовой системе координат и не требуют перевода в СИ.

Найти:

Угол между прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, и плоскостями:

а) $xOy$

б) $yOz$

Решение:

Шаг 1: Найти направляющий вектор прямой AB.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, определяется как $\vec{s} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

$x_B - x_A = -3 - 3 = -6$

$y_B - y_A = 5 - 8 = -3$

$z_B - z_A = 3 - 1 = 2$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{s} = (-6, -3, 2)$.

Модуль направляющего вектора: $||\vec{s}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.

Шаг 2: Найти нормальные векторы плоскостей.

а) xOy

Плоскость $xOy$ имеет уравнение $z=0$. Нормальный вектор этой плоскости направлен вдоль оси $z$ (то есть перпендикулярен плоскости $xOy$).

Следовательно, нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

б) yOz

Плоскость $yOz$ имеет уравнение $x=0$. Нормальный вектор этой плоскости направлен вдоль оси $x$ (то есть перпендикулярен плоскости $yOz$).

Следовательно, нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Шаг 3: Вычислить угол между прямой и каждой плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{s}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{||\vec{s}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

а) xOy

Скалярное произведение $\vec{s} \cdot \vec{n_1}$: $\vec{s} \cdot \vec{n_1} = (-6)(0) + (-3)(0) + (2)(1) = 0 + 0 + 2 = 2$.

$|\vec{s} \cdot \vec{n_1}| = |2| = 2$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin \phi_1 = \frac{2}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$.

Чтобы найти угол, используем арксинус: $\phi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right)$.

Ответ: $\phi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right)$.

б) yOz

Скалярное произведение $\vec{s} \cdot \vec{n_2}$: $\vec{s} \cdot \vec{n_2} = (-6)(1) + (-3)(0) + (2)(0) = -6 + 0 + 0 = -6$.

$|\vec{s} \cdot \vec{n_2}| = |-6| = 6$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin \phi_2 = \frac{6}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$.

Чтобы найти угол, используем арксинус: $\phi_2 = \arcsin\left(\frac{6}{7}\right)$.

Ответ: $\phi_2 = \arcsin\left(\frac{6}{7}\right)$.

243. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(-2; 4; -3)$ и $B(0; 3; -5)$, и плоскостью:

а) $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$;

б) $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$.

Дано:

Точки прямой: $A(-2; 4; -3)$, $B(0; 3; -5)$

Уравнение плоскости а): $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$

Уравнение плоскости б): $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются координатами точек и коэффициентами уравнений плоскостей в декартовой системе координат.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью а), а также между прямой $AB$ и плоскостью б).

Решение:

Для нахождения угла $\phi$ между прямой и плоскостью используется формула:

$ \sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|} $

где $\vec{l}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

Сначала найдем направляющий вектор прямой $AB$.

Вектор $\vec{l}$ можно найти как $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

$ \vec{l} = (0 - (-2); 3 - 4; -5 - (-3)) = (2; -1; -2) $

Найдем его модуль:

$ |\vec{l}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $

а)

Уравнение плоскости: $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n_a}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$.

$ \vec{n_a} = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}; \frac{1}{6}\right) $

Для удобства можно привести уравнение к целочисленным коэффициентам, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 8, 6), которое равно 24:

$ 12x + 3y + 4z + 24 = 0 $

Тогда вектор нормали $\vec{n_a} = (12; 3; 4)$.

Найдем его модуль:

$ |\vec{n_a}| = \sqrt{12^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13 $

Найдем скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости:

$ \vec{l} \cdot \vec{n_a} = (2)(12) + (-1)(3) + (-2)(4) = 24 - 3 - 8 = 13 $

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$ \sin \phi_a = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n_a}|}{|\vec{l}| |\vec{n_a}|} = \frac{|13|}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39} = \frac{1}{3} $

Отсюда угол $\phi_a$:

$ \phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $

Ответ: $ \phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $

б)

Уравнение плоскости: $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n_b}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$.

$ \vec{n_b} = \left(\frac{3}{14}; \frac{3}{7}; -\frac{3}{7}\right) $

Для удобства можно привести уравнение к целочисленным коэффициентам, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей (14, 7, 7), которое равно 14:

$ 3x + 6y - 6z + 14 = 0 $

Тогда вектор нормали $\vec{n_b} = (3; 6; -6)$.

Найдем его модуль:

$ |\vec{n_b}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9 $

Найдем скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости:

$ \vec{l} \cdot \vec{n_b} = (2)(3) + (-1)(6) + (-2)(-6) = 6 - 6 + 12 = 12 $

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$ \sin \phi_b = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n_b}|}{|\vec{l}| |\vec{n_b}|} = \frac{|12|}{3 \cdot 9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} $

Отсюда угол $\phi_b$:

$ \phi_b = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right) $

Ответ: $ \phi_b = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right) $

244. Найдите угол между плоскостями:

а) $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$ и $2x - 2y + 3 = 0$;

б) $-x + 2y - 2z + 3 = 0$ и $6x + 3y - 6z - 2 = 0$;

в) $2x + 5y - z = 0$ и $x - y - 3z + 4 = 0$;

г) $x + y + z + 2 = 0$ и $4x - 4y + 2z - 3 = 0$.

a)

Дано:

Плоскость 1: $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$
Плоскость 2: $2x - 2y + 3 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для двух плоскостей $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ соответственно.

Угол $\phi$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

где $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2$
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}$
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}$

Для плоскости $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (-4, 2, 4)$.

Для плоскости $2x - 2y + 3 = 0$ (что эквивалентно $2x - 2y + 0z + 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, -2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-4)(2) + (2)(-2) + (4)(0) = -8 - 4 + 0 = -12$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-12|}{6 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$ или $45^\circ$.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{4}$ или $45^\circ$.

б)

Дано:

Плоскость 1: $-x + 2y - 2z + 3 = 0$
Плоскость 2: $6x + 3y - 6z - 2 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $-x + 2y - 2z + 3 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (-1, 2, -2)$.

Для плоскости $6x + 3y - 6z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (6, 3, -6)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(6) + (2)(3) + (-2)(-6) = -6 + 6 + 12 = 12$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|12|}{3 \cdot 9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)$.

Ответ: $\phi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)$.

в)

Дано:

Плоскость 1: $2x + 5y - z = 0$
Плоскость 2: $x - y - 3z + 4 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $2x + 5y - z = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 5, -1)$.

Для плоскости $x - y - 3z + 4 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1, -3)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (5)(-1) + (-1)(-3) = 2 - 5 + 3 = 0$

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны, и, следовательно, плоскости перпендикулярны.

$\cos \phi = \frac{|0|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = 0$

Следовательно, $\phi = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$.

г)

Дано:

Плоскость 1: $x + y + z + 2 = 0$
Плоскость 2: $4x - 4y + 2z - 3 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $x + y + z + 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Для плоскости $4x - 4y + 2z - 3 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (4, -4, 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (1)(-4) + (1)(2) = 4 - 4 + 2 = 2$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{2}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Ответ: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

245. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $A(0; 0; 0)$, $B(1; 1; 1)$, $C(3; 2; 1)$ и $D(5; 4; 0)$.

Дано:

Координаты точек:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 1; 1)$
$C(3; 2; 1)$
$D(5; 4; 0)$

Перевод в СИ:

Координаты точек являются безразмерными величинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$.

Решение:

Для нахождения угла между двумя плоскостями необходимо определить нормальные векторы к каждой из них. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

1. Нахождение нормального вектора для плоскости $ABC$ ($n_1$).

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости $ABC$. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = B - A = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 0) = (1; 1; 1)$
$\vec{AC} = C - A = (3 - 0; 2 - 0; 1 - 0) = (3; 2; 1)$

Нормальный вектор $n_1$ к плоскости $ABC$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

$n_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$n_1 = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$n_1 = \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(1 - 3) + \mathbf{k}(2 - 3)$
$n_1 = -1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$
Следовательно, $n_1 = (-1; 2; -1)$.

2. Нахождение нормального вектора для плоскости $ABD$ ($n_2$).

Аналогично, найдем два вектора, лежащих в плоскости $ABD$. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} = (1; 1; 1)$ (уже найден)
$\vec{AD} = D - A = (5 - 0; 4 - 0; 0 - 0) = (5; 4; 0)$

Нормальный вектор $n_2$ к плоскости $ABD$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AD}$:

$n_2 = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix}$
$n_2 = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 4) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 5) + \mathbf{k}(1 \cdot 4 - 1 \cdot 5)$
$n_2 = \mathbf{i}(0 - 4) - \mathbf{j}(0 - 5) + \mathbf{k}(4 - 5)$
$n_2 = -4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$
Следовательно, $n_2 = (-4; 5; -1)$.

3. Нахождение угла между нормальными векторами ($n_1$ и $n_2$).

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями (или между их нормальными векторами) определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|}$

Вычислим скалярное произведение $n_1 \cdot n_2$:

$n_1 \cdot n_2 = (-1) \cdot (-4) + (2) \cdot (5) + (-1) \cdot (-1)$
$n_1 \cdot n_2 = 4 + 10 + 1 = 15$

Вычислим модули векторов $n_1$ и $n_2$:

$|n_1| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$|n_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 25 + 1} = \sqrt{42}$

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{|15|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{42}} = \frac{15}{\sqrt{6 \cdot 42}} = \frac{15}{\sqrt{252}}$

Упростим знаменатель $\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$:

$\cos \phi = \frac{15}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$\cos \phi = \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$

Окончательно, угол $\phi$ равен:

$\phi = \arccos\left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right)$

Ответ:

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $\arccos\left(\frac{5\sqrt{7}}{14}\right)$.

246. Дан тетраэдр $PABC$, плоские углы при вершине $A$ которого прямые, $AB = AC = 5 \text{ см}$, $AP = 10 \text{ см}$. Точка $M$ - середина ребра $AP$, точка $N$ делит ребро $PC$ в отношении $PN : NC = 2 : 3$ (рисунок 104). Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $PBC$

Рисунок 104

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Плоские углы при вершине $A$ прямые, т.е. $AB \perp AC$, $PA \perp AB$, $PA \perp AC$.

$AB = 5$ см

$AC = 5$ см

$AP = 10$ см

Точка $M$ — середина ребра $AP$.

Точка $N$ делит ребро $PC$ в отношении $PN : NC = 2 : 3$.

Перевод в систему СИ:

$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$AC = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$AP = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Угол между прямой $MN$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $PBC$

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Так как плоские углы при вершине $A$ прямые, оси координат можно направить по ребрам $AB$, $AC$, $AP$.

Координаты вершин:

$A = (0,0,0)$

$B = (0.05,0,0)$ (поскольку $AB=0.05$ м)

$C = (0,0.05,0)$ (поскольку $AC=0.05$ м)

$P = (0,0,0.1)$ (поскольку $AP=0.1$ м)

Найдем координаты точки $M$. $M$ — середина отрезка $AP$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0.1}{2}\right) = (0,0,0.05)$

Найдем координаты точки $N$. $N$ делит отрезок $PC$ в отношении $PN:NC = 2:3$. Используем формулу для деления отрезка в заданном отношении:

$N = \frac{3\vec{P} + 2\vec{C}}{2+3} = \frac{3(0,0,0.1) + 2(0,0.05,0)}{5}$

$N_x = \frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5} = 0$

$N_y = \frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0.05}{5} = \frac{0.1}{5} = 0.02$

$N_z = \frac{3 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0}{5} = \frac{0.3}{5} = 0.06$

Таким образом, $N = (0,0.02,0.06)$

Вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = N - M = (0-0, 0.02-0, 0.06-0.05) = (0,0.02,0.01)$

Длина вектора $\vec{MN}$: $||\vec{MN}|| = \sqrt{0^2 + (0.02)^2 + (0.01)^2} = \sqrt{0.0004 + 0.0001} = \sqrt{0.0005} = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} = \frac{\sqrt{5}}{100}$

a) $ABC$

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $xy$. Ее уравнение $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ может быть взят как $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Угол $\phi_a$ между прямой $MN$ и плоскостью $ABC$ находится по формуле: $\sin \phi_a = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{||\vec{MN}|| \cdot ||\vec{n}_{ABC}||}$

Скалярное произведение: $\vec{MN} \cdot \vec{n}_{ABC} = (0)(0) + (0.02)(0) + (0.01)(1) = 0.01$

Длина нормального вектора: $||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$

$\sin \phi_a = \frac{|0.01|}{\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot 1} = \frac{0.01}{\frac{\sqrt{5}}{100}} = \frac{1/100}{\sqrt{5}/100} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

б) $PBC$

Для нахождения уравнения плоскости $PBC$ используем три точки: $P(0,0,0.1)$, $B(0.05,0,0)$, $C(0,0.05,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $PBC$:

$\vec{PB} = B - P = (0.05-0, 0-0, 0-0.1) = (0.05,0,-0.1)$

$\vec{PC} = C - P = (0-0, 0.05-0, 0-0.1) = (0,0.05,-0.1)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{PBC}$ к плоскости $PBC$ равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n}_{PBC} = \vec{PB} \times \vec{PC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.05 & 0 & -0.1 \\ 0 & 0.05 & -0.1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((0)(-0.1) - (-0.1)(0.05)) - \mathbf{j}((0.05)(-0.1) - (-0.1)(0)) + \mathbf{k}((0.05)(0.05) - (0)(0))$

$= \mathbf{i}(0 + 0.005) - \mathbf{j}(-0.005 - 0) + \mathbf{k}(0.0025 - 0)$

$= (0.005, 0.005, 0.0025)$

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, разделив все компоненты на $0.0025$:

$\vec{n}_{PBC} = \frac{1}{0.0025}(0.005, 0.005, 0.0025) = (2,2,1)$

Длина нормального вектора: $||\vec{n}_{PBC}|| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$

Угол $\phi_b$ между прямой $MN$ и плоскостью $PBC$ находится по формуле: $\sin \phi_b = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_{PBC}|}{||\vec{MN}|| \cdot ||\vec{n}_{PBC}||}$

Скалярное произведение: $\vec{MN} \cdot \vec{n}_{PBC} = (0)(2) + (0.02)(2) + (0.01)(1) = 0 + 0.04 + 0.01 = 0.05$

$\sin \phi_b = \frac{|0.05|}{\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot 3} = \frac{0.05}{\frac{3\sqrt{5}}{100}} = \frac{5/100}{3\sqrt{5}/100} = \frac{5}{3\sqrt{5}}$

Упростим выражение: $\frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\phi_b = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

247. Дан тетраэдр $PABC$, в котором $\angle APB = \angle APC = 45^\circ$, а плоские углы при вершине $A$ – прямые.

Найдите угол между:

а) прямой $AB$ и плоскостью $BCP$;

б) плоскостями $ABC$ и $BCP$.

Дано: Тетраэдр $PABC$. Углы $\angle APB = 45^\circ$, $\angle APC = 45^\circ$. Плоские углы при вершине $A$ прямые, то есть $PA \perp AB$, $PA \perp AC$, $AB \perp AC$. Это означает, что ребро $PA$ перпендикулярно плоскости $ABC$.

Найти: а) Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCP$. б) Угол между плоскостями $ABC$ и $BCP$.

Решение

Разместим тетраэдр в декартовой системе координат. Поскольку плоские углы при вершине $A$ прямые, поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AC$ и $AP$ будут лежать на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Пусть длина ребра $AP$ равна $h$. Так как $PA \perp AB$ (угол $\angle PAB = 90^\circ$), треугольник $PAB$ является прямоугольным. Известно, что $\angle APB = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $PAB$ тангенс угла $APB$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AP$: $ \tan(\angle APB) = \frac{AB}{AP} $ $ \tan(45^\circ) = \frac{AB}{h} $ $ 1 = \frac{AB}{h} \implies AB = h $.

Аналогично, так как $PA \perp AC$ (угол $\angle PAC = 90^\circ$), треугольник $PAC$ также является прямоугольным. Известно, что $\angle APC = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $PAC$ тангенс угла $APC$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $AP$: $ \tan(\angle APC) = \frac{AC}{AP} $ $ \tan(45^\circ) = \frac{AC}{h} $ $ 1 = \frac{AC}{h} \implies AC = h $.

Таким образом, все три ребра, выходящие из вершины $A$, имеют одинаковую длину: $AB = AC = AP = h$. Для удобства вычислений примем $h = 1$. Тогда координаты вершин будут: $ A = (0,0,0) $ $ B = (1,0,0) $ $ C = (0,1,0) $ $ P = (0,0,1) $

а) прямой AB и плоскостью BCP

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью определяется формулой $ \sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||} $, где $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

Направляющий вектор прямой $AB$: $ \vec{v} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0) $. Длина вектора $ \vec{v} $: $ ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1 $.

Для определения вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCP$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $ \vec{BC} $ и $ \vec{BP} $. $ \vec{BC} = C - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0) $. $ \vec{BP} = P - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1,0,1) $.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCP$ можно найти как векторное произведение $ \vec{BC} \times \vec{BP} $: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1) $. Длина вектора $ \vec{n} $: $ ||\vec{n}|| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} $.

Теперь вычислим синус угла $\theta$: $ \sin\theta = \frac{|(1,0,0) \cdot (1,1,1)|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Следовательно, $ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $

б) плоскостями ABC и BCP

Угол $\phi$ между двумя плоскостями определяется формулой $ \cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} $, где $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - векторы нормалей к плоскостям.

Плоскость $ABC$: Эта плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$ и $C(0,1,0)$, что соответствует координатной плоскости $Oxy$. Вектор нормали к плоскости $ABC$: $ \vec{n_1} = (0,0,1) $ (направлен по оси $Oz$). Длина вектора $ \vec{n_1} $: $ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1 $.

Плоскость $BCP$: Вектор нормали к плоскости $BCP$ был найден в предыдущем пункте: $ \vec{n_2} = (1,1,1) $. Длина вектора $ \vec{n_2} $: $ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} $.

Теперь вычислим косинус угла $\phi$ между плоскостями $ABC$ и $BCP$: $ \cos\phi = \frac{|(0,0,1) \cdot (1,1,1)|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Следовательно, $ \phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $

248. Дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$, диагонали основания и высота которой равны по 8 см. Точка $M$ – середина ее высоты $PH$. Найдите угол между:

а) прямой $DM$ и плоскостью $CDP$;

б) плоскостями $APD$ и $ACD$.

Дано:

Дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$.

Диагонали основания $AC = BD = 8$ см.

Высота пирамиды $PH = 8$ см.

Точка $M$ - середина высоты $PH$.

Перевод в СИ:

$AC = BD = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$PH = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

a) Угол между прямой $DM$ и плоскостью $CDP$.

б) Угол между плоскостями $APD$ и $ACD$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Начало координат $H$ поместим в центр основания пирамиды (точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Ось $Oz$ направим вдоль высоты $PH$. Оси $Ox$ и $Oy$ направим вдоль диагоналей основания. Поскольку диагонали основания равны 8 см, то половины диагоналей равны $\frac{8}{2} = 4$ см. Таким образом, координаты вершин основания и вершины пирамиды будут:

$A = (-4, 0, 0)$

$B = (0, -4, 0)$

$C = (4, 0, 0)$

$D = (0, 4, 0)$

$P = (0, 0, 8)$ (так как высота $PH = 8$ см)

Точка $M$ является серединой высоты $PH$, поэтому ее координаты: $M = (0, 0, \frac{8}{2}) = (0, 0, 4)$.

а) угол между прямой DM и плоскостью CDP

Найдем направляющий вектор прямой $DM$:

$\vec{DM} = M - D = (0 - 0, 0 - 4, 4 - 0) = (0, -4, 4)$.

Для определения плоскости $CDP$ воспользуемся координатами трех ее точек: $C(4, 0, 0)$, $D(0, 4, 0)$ и $P(0, 0, 8)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CD} = D - C = (0 - 4, 4 - 0, 0 - 0) = (-4, 4, 0)$.

$\vec{CP} = P - C = (0 - 4, 0 - 0, 8 - 0) = (-4, 0, 8)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{CDP}$ к плоскости $CDP$ можно найти как векторное произведение $\vec{CD} \times \vec{CP}$:

$\vec{n}_{CDP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 4 & 0 \\ -4 & 0 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 8 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-4 \cdot 8 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}(-4 \cdot 0 - 4 \cdot (-4))$

$\vec{n}_{CDP} = 32\vec{i} + 32\vec{j} + 16\vec{k} = (32, 32, 16)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{CDP}$ путем деления на 16: $\vec{n'}_{CDP} = (2, 2, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямой $DM$ и плоскостью $CDP$ определяется по формуле $\sin \alpha = \frac{|\vec{DM} \cdot \vec{n'}_{CDP}|}{|\vec{DM}| |\vec{n'}_{CDP}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{DM} \cdot \vec{n'}_{CDP} = (0, -4, 4) \cdot (2, 2, 1) = 0 \cdot 2 + (-4) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 0 - 8 + 4 = -4$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{DM}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

$|\vec{n'}_{CDP}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|-4|}{4\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{4}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Следовательно, искомый угол: $\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$.

б) угол между плоскостями APD и ACD

Для плоскости $APD$ воспользуемся точками $A(-4, 0, 0)$, $P(0, 0, 8)$ и $D(0, 4, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $APD$:

$\vec{AP} = P - A = (0 - (-4), 0 - 0, 8 - 0) = (4, 0, 8)$.

$\vec{AD} = D - A = (0 - (-4), 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_{APD}$ к плоскости $APD$ как векторное произведение $\vec{AP} \times \vec{AD}$:

$\vec{n}_{APD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 8 \cdot 4) - \vec{j}(4 \cdot 0 - 8 \cdot 4) + \vec{k}(4 \cdot 4 - 0 \cdot 4)$

$\vec{n}_{APD} = -32\vec{i} + 32\vec{j} + 16\vec{k} = (-32, 32, 16)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{APD}$ путем деления на 16: $\vec{n'}_{APD} = (-2, 2, 1)$.

Для плоскости $ACD$ воспользуемся точками $A(-4, 0, 0)$, $C(4, 0, 0)$ и $D(0, 4, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $ACD$:

$\vec{AC} = C - A = (4 - (-4), 0 - 0, 0 - 0) = (8, 0, 0)$.

$\vec{AD} = D - A = (0 - (-4), 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_{ACD}$ к плоскости $ACD$ как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD}$:

$\vec{n}_{ACD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 4) - \vec{j}(8 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(8 \cdot 4 - 0 \cdot 4)$

$\vec{n}_{ACD} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 32\vec{k} = (0, 0, 32)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{ACD}$ путем деления на 32: $\vec{n'}_{ACD} = (0, 0, 1)$. Заметим, что плоскость $ACD$ является плоскостью основания пирамиды, которая в нашей системе координат совпадает с плоскостью $z=0$, и ее нормальный вектор действительно $(0,0,1)$ (или $(0,0,-1)$).

Угол $\beta$ между плоскостями $APD$ и $ACD$ определяется по формуле $\cos \beta = \frac{|\vec{n'}_{APD} \cdot \vec{n'}_{ACD}|}{|\vec{n'}_{APD}| |\vec{n'}_{ACD}|}$.

Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n'}_{APD} \cdot \vec{n'}_{ACD} = (-2, 2, 1) \cdot (0, 0, 1) = (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.

Вычислим модули нормальных векторов:

$|\vec{n'}_{APD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{n'}_{ACD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \beta = \frac{|1|}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомый угол: $\beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

249. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямой, проходящей через начало координат и точку $M(1; 2; 3)$, и плоскостью, параллельной вектору $\vec{p}(3; 1; -1)$, содержащей начало координат и точку $C(0; 2; -1)$.

Дано:

Прямая $L$ проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $M(1; 2; 3)$.

Плоскость $P$ параллельна вектору $\vec{p} = (3; 1; -1)$, содержит начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(0; 2; -1)$.

В данной задаче все величины представлены в координатной форме, которая является универсальной и не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $L$ и плоскостью $P$ с точностью до $1^\circ$.

Решение

Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся формулой, связывающей синус угла между прямой и плоскостью со скалярным произведением направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

1. Найдем направляющий вектор прямой $L$. Прямая $L$ проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $M(1; 2; 3)$. Направляющим вектором прямой $L$ является вектор $\vec{l} = \vec{OM}$.

$\vec{l} = (M_x - O_x; M_y - O_y; M_z - O_z) = (1 - 0; 2 - 0; 3 - 0) = (1; 2; 3)$

Ответ:

Направляющий вектор прямой $L$: $\vec{l} = (1; 2; 3)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $P$. Плоскость $P$ содержит начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(0; 2; -1)$, а также параллельна вектору $\vec{p} = (3; 1; -1)$. Два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $P$, это $\vec{OC}$ и $\vec{p}$. Вектор $\vec{OC} = (C_x - O_x; C_y - O_y; C_z - O_z) = (0 - 0; 2 - 0; -1 - 0) = (0; 2; -1)$. Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен любым векторам, лежащим в плоскости. Его можно найти как векторное произведение векторов $\vec{OC}$ и $\vec{p}$.

$\vec{n} = \vec{OC} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((2)(-1) - (-1)(1)) - \mathbf{j}((0)(-1) - (-1)(3)) + \mathbf{k}((0)(1) - (2)(3))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-2 + 1) - \mathbf{j}(0 + 3) + \mathbf{k}(0 - 6)$

$\vec{n} = -1\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$

Ответ:

Нормальный вектор плоскости $P$: $\vec{n} = (-1; -3; -6)$.

3. Вычислим угол между прямой и плоскостью. Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$|\sin \phi| = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(-1) + (2)(-3) + (3)(-6) = -1 - 6 - 18 = -25$

$|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}$

$|\sin \phi| = \frac{|-25|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{46}} = \frac{25}{\sqrt{14 \cdot 46}} = \frac{25}{\sqrt{644}}$

$\phi = \arcsin\left(\frac{25}{\sqrt{644}}\right)$

$\phi \approx \arcsin\left(\frac{25}{25.37715}\right) \approx \arcsin(0.98513)$

$\phi \approx 80.05^\circ$

$\phi \approx 80^\circ$

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью составляет приблизительно $80^\circ$.