Номер 244, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

244. Найдите угол между плоскостями:

а) $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$ и $2x - 2y + 3 = 0$;

б) $-x + 2y - 2z + 3 = 0$ и $6x + 3y - 6z - 2 = 0$;

в) $2x + 5y - z = 0$ и $x - y - 3z + 4 = 0$;

г) $x + y + z + 2 = 0$ и $4x - 4y + 2z - 3 = 0$.

a)

Дано:

Плоскость 1: $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$
Плоскость 2: $2x - 2y + 3 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для двух плоскостей $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ соответственно.

Угол $\phi$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

где $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2$
$||\vec{n_1}|| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}$
$||\vec{n_2}|| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}$

Для плоскости $-4x + 2y + 4z - 5 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (-4, 2, 4)$.

Для плоскости $2x - 2y + 3 = 0$ (что эквивалентно $2x - 2y + 0z + 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, -2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-4)(2) + (2)(-2) + (4)(0) = -8 - 4 + 0 = -12$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-12|}{6 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$ или $45^\circ$.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{4}$ или $45^\circ$.

б)

Дано:

Плоскость 1: $-x + 2y - 2z + 3 = 0$
Плоскость 2: $6x + 3y - 6z - 2 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $-x + 2y - 2z + 3 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (-1, 2, -2)$.

Для плоскости $6x + 3y - 6z - 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (6, 3, -6)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(6) + (2)(3) + (-2)(-6) = -6 + 6 + 12 = 12$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|12|}{3 \cdot 9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)$.

Ответ: $\phi = \arccos\left(\frac{4}{9}\right)$.

в)

Дано:

Плоскость 1: $2x + 5y - z = 0$
Плоскость 2: $x - y - 3z + 4 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $2x + 5y - z = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 5, -1)$.

Для плоскости $x - y - 3z + 4 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, -1, -3)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (5)(-1) + (-1)(-3) = 2 - 5 + 3 = 0$

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны, и, следовательно, плоскости перпендикулярны.

$\cos \phi = \frac{|0|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = 0$

Следовательно, $\phi = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$.

Ответ: $\phi = \frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$.

г)

Дано:

Плоскость 1: $x + y + z + 2 = 0$
Плоскость 2: $4x - 4y + 2z - 3 = 0$

В данном случае перевод в СИ не требуется, так как работаем с коэффициентами уравнений плоскостей, которые не являются физическими величинами.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для плоскости $x + y + z + 2 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Для плоскости $4x - 4y + 2z - 3 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (4, -4, 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (1)(-4) + (1)(2) = 4 - 4 + 2 = 2$

Вычислим длины (модули) нормальных векторов:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot 6} = \frac{2}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

Следовательно, $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Ответ: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.