Номер 248, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

248. Дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$, диагонали основания и высота которой равны по 8 см. Точка $M$ – середина ее высоты $PH$. Найдите угол между:

а) прямой $DM$ и плоскостью $CDP$;

б) плоскостями $APD$ и $ACD$.

Дано:

Дана правильная четырехугольная пирамида $PABCD$.

Диагонали основания $AC = BD = 8$ см.

Высота пирамиды $PH = 8$ см.

Точка $M$ - середина высоты $PH$.

Перевод в СИ:

$AC = BD = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$PH = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

a) Угол между прямой $DM$ и плоскостью $CDP$.

б) Угол между плоскостями $APD$ и $ACD$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Начало координат $H$ поместим в центр основания пирамиды (точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Ось $Oz$ направим вдоль высоты $PH$. Оси $Ox$ и $Oy$ направим вдоль диагоналей основания. Поскольку диагонали основания равны 8 см, то половины диагоналей равны $\frac{8}{2} = 4$ см. Таким образом, координаты вершин основания и вершины пирамиды будут:

$A = (-4, 0, 0)$

$B = (0, -4, 0)$

$C = (4, 0, 0)$

$D = (0, 4, 0)$

$P = (0, 0, 8)$ (так как высота $PH = 8$ см)

Точка $M$ является серединой высоты $PH$, поэтому ее координаты: $M = (0, 0, \frac{8}{2}) = (0, 0, 4)$.

а) угол между прямой DM и плоскостью CDP

Найдем направляющий вектор прямой $DM$:

$\vec{DM} = M - D = (0 - 0, 0 - 4, 4 - 0) = (0, -4, 4)$.

Для определения плоскости $CDP$ воспользуемся координатами трех ее точек: $C(4, 0, 0)$, $D(0, 4, 0)$ и $P(0, 0, 8)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{CD} = D - C = (0 - 4, 4 - 0, 0 - 0) = (-4, 4, 0)$.

$\vec{CP} = P - C = (0 - 4, 0 - 0, 8 - 0) = (-4, 0, 8)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{CDP}$ к плоскости $CDP$ можно найти как векторное произведение $\vec{CD} \times \vec{CP}$:

$\vec{n}_{CDP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 4 & 0 \\ -4 & 0 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 8 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-4 \cdot 8 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}(-4 \cdot 0 - 4 \cdot (-4))$

$\vec{n}_{CDP} = 32\vec{i} + 32\vec{j} + 16\vec{k} = (32, 32, 16)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{CDP}$ путем деления на 16: $\vec{n'}_{CDP} = (2, 2, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямой $DM$ и плоскостью $CDP$ определяется по формуле $\sin \alpha = \frac{|\vec{DM} \cdot \vec{n'}_{CDP}|}{|\vec{DM}| |\vec{n'}_{CDP}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{DM} \cdot \vec{n'}_{CDP} = (0, -4, 4) \cdot (2, 2, 1) = 0 \cdot 2 + (-4) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 0 - 8 + 4 = -4$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{DM}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

$|\vec{n'}_{CDP}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:

$\sin \alpha = \frac{|-4|}{4\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{4}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Следовательно, искомый угол: $\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$.

б) угол между плоскостями APD и ACD

Для плоскости $APD$ воспользуемся точками $A(-4, 0, 0)$, $P(0, 0, 8)$ и $D(0, 4, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $APD$:

$\vec{AP} = P - A = (0 - (-4), 0 - 0, 8 - 0) = (4, 0, 8)$.

$\vec{AD} = D - A = (0 - (-4), 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_{APD}$ к плоскости $APD$ как векторное произведение $\vec{AP} \times \vec{AD}$:

$\vec{n}_{APD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 8 \cdot 4) - \vec{j}(4 \cdot 0 - 8 \cdot 4) + \vec{k}(4 \cdot 4 - 0 \cdot 4)$

$\vec{n}_{APD} = -32\vec{i} + 32\vec{j} + 16\vec{k} = (-32, 32, 16)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{APD}$ путем деления на 16: $\vec{n'}_{APD} = (-2, 2, 1)$.

Для плоскости $ACD$ воспользуемся точками $A(-4, 0, 0)$, $C(4, 0, 0)$ и $D(0, 4, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $ACD$:

$\vec{AC} = C - A = (4 - (-4), 0 - 0, 0 - 0) = (8, 0, 0)$.

$\vec{AD} = D - A = (0 - (-4), 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}_{ACD}$ к плоскости $ACD$ как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD}$:

$\vec{n}_{ACD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 4) - \vec{j}(8 \cdot 0 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(8 \cdot 4 - 0 \cdot 4)$

$\vec{n}_{ACD} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 32\vec{k} = (0, 0, 32)$.

Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор $\vec{n'}_{ACD}$ путем деления на 32: $\vec{n'}_{ACD} = (0, 0, 1)$. Заметим, что плоскость $ACD$ является плоскостью основания пирамиды, которая в нашей системе координат совпадает с плоскостью $z=0$, и ее нормальный вектор действительно $(0,0,1)$ (или $(0,0,-1)$).

Угол $\beta$ между плоскостями $APD$ и $ACD$ определяется по формуле $\cos \beta = \frac{|\vec{n'}_{APD} \cdot \vec{n'}_{ACD}|}{|\vec{n'}_{APD}| |\vec{n'}_{ACD}|}$.

Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n'}_{APD} \cdot \vec{n'}_{ACD} = (-2, 2, 1) \cdot (0, 0, 1) = (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.

Вычислим модули нормальных векторов:

$|\vec{n'}_{APD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

$|\vec{n'}_{ACD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \beta = \frac{|1|}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомый угол: $\beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.