Номер 246, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

246. Дан тетраэдр $PABC$, плоские углы при вершине $A$ которого прямые, $AB = AC = 5 \text{ см}$, $AP = 10 \text{ см}$. Точка $M$ - середина ребра $AP$, точка $N$ делит ребро $PC$ в отношении $PN : NC = 2 : 3$ (рисунок 104). Найдите угол между прямой $MN$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $PBC$

Рисунок 104

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Плоские углы при вершине $A$ прямые, т.е. $AB \perp AC$, $PA \perp AB$, $PA \perp AC$.

$AB = 5$ см

$AC = 5$ см

$AP = 10$ см

Точка $M$ — середина ребра $AP$.

Точка $N$ делит ребро $PC$ в отношении $PN : NC = 2 : 3$.

Перевод в систему СИ:

$AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$AC = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$AP = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Угол между прямой $MN$ и плоскостью:

а) $ABC$

б) $PBC$

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Так как плоские углы при вершине $A$ прямые, оси координат можно направить по ребрам $AB$, $AC$, $AP$.

Координаты вершин:

$A = (0,0,0)$

$B = (0.05,0,0)$ (поскольку $AB=0.05$ м)

$C = (0,0.05,0)$ (поскольку $AC=0.05$ м)

$P = (0,0,0.1)$ (поскольку $AP=0.1$ м)

Найдем координаты точки $M$. $M$ — середина отрезка $AP$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0.1}{2}\right) = (0,0,0.05)$

Найдем координаты точки $N$. $N$ делит отрезок $PC$ в отношении $PN:NC = 2:3$. Используем формулу для деления отрезка в заданном отношении:

$N = \frac{3\vec{P} + 2\vec{C}}{2+3} = \frac{3(0,0,0.1) + 2(0,0.05,0)}{5}$

$N_x = \frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{5} = 0$

$N_y = \frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0.05}{5} = \frac{0.1}{5} = 0.02$

$N_z = \frac{3 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0}{5} = \frac{0.3}{5} = 0.06$

Таким образом, $N = (0,0.02,0.06)$

Вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = N - M = (0-0, 0.02-0, 0.06-0.05) = (0,0.02,0.01)$

Длина вектора $\vec{MN}$: $||\vec{MN}|| = \sqrt{0^2 + (0.02)^2 + (0.01)^2} = \sqrt{0.0004 + 0.0001} = \sqrt{0.0005} = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} = \frac{\sqrt{5}}{100}$

a) $ABC$

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $xy$. Ее уравнение $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ может быть взят как $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Угол $\phi_a$ между прямой $MN$ и плоскостью $ABC$ находится по формуле: $\sin \phi_a = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{||\vec{MN}|| \cdot ||\vec{n}_{ABC}||}$

Скалярное произведение: $\vec{MN} \cdot \vec{n}_{ABC} = (0)(0) + (0.02)(0) + (0.01)(1) = 0.01$

Длина нормального вектора: $||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$

$\sin \phi_a = \frac{|0.01|}{\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot 1} = \frac{0.01}{\frac{\sqrt{5}}{100}} = \frac{1/100}{\sqrt{5}/100} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

б) $PBC$

Для нахождения уравнения плоскости $PBC$ используем три точки: $P(0,0,0.1)$, $B(0.05,0,0)$, $C(0,0.05,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $PBC$:

$\vec{PB} = B - P = (0.05-0, 0-0, 0-0.1) = (0.05,0,-0.1)$

$\vec{PC} = C - P = (0-0, 0.05-0, 0-0.1) = (0,0.05,-0.1)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{PBC}$ к плоскости $PBC$ равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n}_{PBC} = \vec{PB} \times \vec{PC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.05 & 0 & -0.1 \\ 0 & 0.05 & -0.1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((0)(-0.1) - (-0.1)(0.05)) - \mathbf{j}((0.05)(-0.1) - (-0.1)(0)) + \mathbf{k}((0.05)(0.05) - (0)(0))$

$= \mathbf{i}(0 + 0.005) - \mathbf{j}(-0.005 - 0) + \mathbf{k}(0.0025 - 0)$

$= (0.005, 0.005, 0.0025)$

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, разделив все компоненты на $0.0025$:

$\vec{n}_{PBC} = \frac{1}{0.0025}(0.005, 0.005, 0.0025) = (2,2,1)$

Длина нормального вектора: $||\vec{n}_{PBC}|| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$

Угол $\phi_b$ между прямой $MN$ и плоскостью $PBC$ находится по формуле: $\sin \phi_b = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}_{PBC}|}{||\vec{MN}|| \cdot ||\vec{n}_{PBC}||}$

Скалярное произведение: $\vec{MN} \cdot \vec{n}_{PBC} = (0)(2) + (0.02)(2) + (0.01)(1) = 0 + 0.04 + 0.01 = 0.05$

$\sin \phi_b = \frac{|0.05|}{\frac{\sqrt{5}}{100} \cdot 3} = \frac{0.05}{\frac{3\sqrt{5}}{100}} = \frac{5/100}{3\sqrt{5}/100} = \frac{5}{3\sqrt{5}}$

Упростим выражение: $\frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\phi_b = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$