Номер 247, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

247. Дан тетраэдр $PABC$, в котором $\angle APB = \angle APC = 45^\circ$, а плоские углы при вершине $A$ – прямые.

Найдите угол между:

а) прямой $AB$ и плоскостью $BCP$;

б) плоскостями $ABC$ и $BCP$.

Дано: Тетраэдр $PABC$. Углы $\angle APB = 45^\circ$, $\angle APC = 45^\circ$. Плоские углы при вершине $A$ прямые, то есть $PA \perp AB$, $PA \perp AC$, $AB \perp AC$. Это означает, что ребро $PA$ перпендикулярно плоскости $ABC$.

Найти: а) Угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCP$. б) Угол между плоскостями $ABC$ и $BCP$.

Решение

Разместим тетраэдр в декартовой системе координат. Поскольку плоские углы при вершине $A$ прямые, поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AC$ и $AP$ будут лежать на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Пусть длина ребра $AP$ равна $h$. Так как $PA \perp AB$ (угол $\angle PAB = 90^\circ$), треугольник $PAB$ является прямоугольным. Известно, что $\angle APB = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $PAB$ тангенс угла $APB$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $AP$: $ \tan(\angle APB) = \frac{AB}{AP} $ $ \tan(45^\circ) = \frac{AB}{h} $ $ 1 = \frac{AB}{h} \implies AB = h $.

Аналогично, так как $PA \perp AC$ (угол $\angle PAC = 90^\circ$), треугольник $PAC$ также является прямоугольным. Известно, что $\angle APC = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $PAC$ тангенс угла $APC$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $AP$: $ \tan(\angle APC) = \frac{AC}{AP} $ $ \tan(45^\circ) = \frac{AC}{h} $ $ 1 = \frac{AC}{h} \implies AC = h $.

Таким образом, все три ребра, выходящие из вершины $A$, имеют одинаковую длину: $AB = AC = AP = h$. Для удобства вычислений примем $h = 1$. Тогда координаты вершин будут: $ A = (0,0,0) $ $ B = (1,0,0) $ $ C = (0,1,0) $ $ P = (0,0,1) $

а) прямой AB и плоскостью BCP

Угол $\theta$ между прямой и плоскостью определяется формулой $ \sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||} $, где $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

Направляющий вектор прямой $AB$: $ \vec{v} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0) $. Длина вектора $ \vec{v} $: $ ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1 $.

Для определения вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCP$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $ \vec{BC} $ и $ \vec{BP} $. $ \vec{BC} = C - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0) $. $ \vec{BP} = P - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1,0,1) $.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCP$ можно найти как векторное произведение $ \vec{BC} \times \vec{BP} $: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) = (1, 1, 1) $. Длина вектора $ \vec{n} $: $ ||\vec{n}|| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} $.

Теперь вычислим синус угла $\theta$: $ \sin\theta = \frac{|(1,0,0) \cdot (1,1,1)|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Следовательно, $ \theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $

б) плоскостями ABC и BCP

Угол $\phi$ между двумя плоскостями определяется формулой $ \cos\phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} $, где $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - векторы нормалей к плоскостям.

Плоскость $ABC$: Эта плоскость проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$ и $C(0,1,0)$, что соответствует координатной плоскости $Oxy$. Вектор нормали к плоскости $ABC$: $ \vec{n_1} = (0,0,1) $ (направлен по оси $Oz$). Длина вектора $ \vec{n_1} $: $ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1 $.

Плоскость $BCP$: Вектор нормали к плоскости $BCP$ был найден в предыдущем пункте: $ \vec{n_2} = (1,1,1) $. Длина вектора $ \vec{n_2} $: $ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3} $.

Теперь вычислим косинус угла $\phi$ между плоскостями $ABC$ и $BCP$: $ \cos\phi = \frac{|(0,0,1) \cdot (1,1,1)|}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Следовательно, $ \phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $