Номер 242, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

242. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(3; 8; 1)$ и $B(-3; 5; 3)$, и плоскостью:

a) $xOy$;

б) $yOz$.

Дано:

Точки: $A(3; 8; 1)$, $B(-3; 5; 3)$.

Плоскости: а) $xOy$; б) $yOz$.

Перевод в СИ:

Координаты точек и плоскости заданы в декартовой системе координат и не требуют перевода в СИ.

Найти:

Угол между прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, и плоскостями:

а) $xOy$

б) $yOz$

Решение:

Шаг 1: Найти направляющий вектор прямой AB.

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, определяется как $\vec{s} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

$x_B - x_A = -3 - 3 = -6$

$y_B - y_A = 5 - 8 = -3$

$z_B - z_A = 3 - 1 = 2$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{s} = (-6, -3, 2)$.

Модуль направляющего вектора: $||\vec{s}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.

Шаг 2: Найти нормальные векторы плоскостей.

а) xOy

Плоскость $xOy$ имеет уравнение $z=0$. Нормальный вектор этой плоскости направлен вдоль оси $z$ (то есть перпендикулярен плоскости $xOy$).

Следовательно, нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

б) yOz

Плоскость $yOz$ имеет уравнение $x=0$. Нормальный вектор этой плоскости направлен вдоль оси $x$ (то есть перпендикулярен плоскости $yOz$).

Следовательно, нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$.

Модуль нормального вектора: $||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Шаг 3: Вычислить угол между прямой и каждой плоскостью.

Угол $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{s}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{||\vec{s}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

а) xOy

Скалярное произведение $\vec{s} \cdot \vec{n_1}$: $\vec{s} \cdot \vec{n_1} = (-6)(0) + (-3)(0) + (2)(1) = 0 + 0 + 2 = 2$.

$|\vec{s} \cdot \vec{n_1}| = |2| = 2$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin \phi_1 = \frac{2}{7 \cdot 1} = \frac{2}{7}$.

Чтобы найти угол, используем арксинус: $\phi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right)$.

Ответ: $\phi_1 = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right)$.

б) yOz

Скалярное произведение $\vec{s} \cdot \vec{n_2}$: $\vec{s} \cdot \vec{n_2} = (-6)(1) + (-3)(0) + (2)(0) = -6 + 0 + 0 = -6$.

$|\vec{s} \cdot \vec{n_2}| = |-6| = 6$.

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла: $\sin \phi_2 = \frac{6}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$.

Чтобы найти угол, используем арксинус: $\phi_2 = \arcsin\left(\frac{6}{7}\right)$.

Ответ: $\phi_2 = \arcsin\left(\frac{6}{7}\right)$.