Номер 236, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

236. Дана пирамида $PABC$, вершинами основания которой являются точки $A(5; 1; -1)$, $B(5; -2; 2)$ и $C(2; -2; 1)$, а вершина $P$ принадлежит оси $Oz$ и $\vec{PC} \perp \vec{CB}$. Найдите угол между прямыми $PC$ и $AB$.

Дано

Координаты вершин основания пирамиды: $A(5; 1; -1)$, $B(5; -2; 2)$, $C(2; -2; 1)$.

Вершина $P$ принадлежит оси $Oz$, следовательно, ее координаты имеют вид $P(0; 0; z_P)$.

Вектор $\vec{PC}$ перпендикулярен вектору $\vec{CB}$ ($\vec{PC} \perp \vec{CB}$).

Перевод в СИ

Координаты точек представлены в декартовой системе координат. Единицы измерения не указаны, поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $PC$ и $AB$.

Решение

1. Найдем координаты точки P.

Так как точка $P$ лежит на оси $Oz$, ее координаты имеют вид $P(0; 0; z_P)$.

Найдем координаты вектора $\vec{PC}$:

$ \vec{PC} = C - P = (2-0; -2-0; 1-z_P) = (2; -2; 1-z_P) $

Найдем координаты вектора $\vec{CB}$:

$ \vec{CB} = B - C = (5-2; -2-(-2); 2-1) = (3; 0; 1) $

По условию $\vec{PC} \perp \vec{CB}$, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

$ \vec{PC} \cdot \vec{CB} = 0 $

$ (2)(3) + (-2)(0) + (1-z_P)(1) = 0 $

$ 6 + 0 + 1 - z_P = 0 $

$ 7 - z_P = 0 $

$ z_P = 7 $

Таким образом, координаты точки $P$ равны $P(0; 0; 7)$.

Теперь мы можем уточнить вектор $\vec{PC}$:

$ \vec{PC} = (2; -2; 1-7) = (2; -2; -6) $

Ответ:

2. Найдем угол между прямыми PC и AB.

Для нахождения угла между прямыми $PC$ и $AB$ нам понадобятся их направляющие векторы. Вектор $\vec{PC}$ уже найден, он является направляющим вектором прямой $PC$.

$ \vec{u} = \vec{PC} = (2; -2; -6) $

Найдем направляющий вектор прямой $AB$:

$ \vec{v} = \vec{AB} = B - A = (5-5; -2-1; 2-(-1)) = (0; -3; 3) $

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(0) + (-2)(-3) + (-6)(3) = 0 + 6 - 18 = -12 $

Вычислим модули (длины) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} $

$ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$ \cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{11})(3\sqrt{2})} = \frac{12}{6\sqrt{22}} = \frac{2}{\sqrt{22}} = \frac{2\sqrt{22}}{22} = \frac{\sqrt{22}}{11} $

Угол $\theta$ между прямыми $PC$ и $AB$ равен:

$ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{22}}{11}\right) $

Ответ:

Ответ:

Угол между прямыми $PC$ и $AB$ составляет $ \arccos\left(\frac{\sqrt{22}}{11}\right) $.