Номер 232, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

232. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ длина стороны основания равна 12, ее высота равна 18, а точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 2 : 1$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми:

а) $AK$ и $BD$;

б) $BK$ и $AD$.

Дано:

Пирамида $PABCD$ - правильная четырехугольная.

Сторона основания $AB = a = 12$.

Высота пирамиды $PO = h = 18$.

Точка $K$ лежит на ребре $PC$ и делит его в отношении $PK : KC = 2 : 1$.

Данные без указания единиц измерения, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AK$ и $BD$ (с точностью до $1^\circ$).

Угол между прямыми $BK$ и $AD$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим начало координат $O$ в центре основания пирамиды. Ось $z$ направим по высоте $PO$. Вершины основания $A, B, C, D$ лежат в плоскости $z=0$. Поскольку основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=12$, то диагональ основания $AC = BD = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до каждой вершины составляет $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} (12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$. Для удобства разместим вершины основания таким образом, чтобы их координаты были целыми числами: $A = (6, -6, 0)$ $B = (6, 6, 0)$ $C = (-6, 6, 0)$ $D = (-6, -6, 0)$ Вершина пирамиды $P$ находится над центром основания на высоте $h=18$, следовательно $P = (0, 0, 18)$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 2 : 1$. Используя формулу деления отрезка в заданном отношении: $K = \frac{1 \cdot P + 2 \cdot C}{1+2} = \frac{1}{3} P + \frac{2}{3} C$ $K = \frac{1}{3}(0, 0, 18) + \frac{2}{3}(-6, 6, 0) = (0, 0, 6) + (-4, 4, 0) = (-4, 4, 6)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым.

а) AK и BD

Вектор $\vec{AK} = K - A = (-4 - 6, 4 - (-6), 6 - 0) = (-10, 10, 6)$. Вектор $\vec{BD} = D - B = (-6 - 6, -6 - 6, 0 - 0) = (-12, -12, 0)$. Угол $\phi$ между двумя прямыми определяется по формуле $\cos\phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$. Скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AK} \cdot \vec{BD} = (-10)(-12) + (10)(-12) + (6)(0) = 120 - 120 + 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{BD}$ ортогональны. Следовательно, угол между прямыми $AK$ и $BD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) BK и AD

Вектор $\vec{BK} = K - B = (-4 - 6, 4 - 6, 6 - 0) = (-10, -2, 6)$. Вектор $\vec{AD} = D - A = (-6 - 6, -6 - (-6), 0 - 0) = (-12, 0, 0)$. Скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{AD}$: $\vec{BK} \cdot \vec{AD} = (-10)(-12) + (-2)(0) + (6)(0) = 120 + 0 + 0 = 120$. Длины (модули) векторов: $||\vec{BK}|| = \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 4 + 36} = \sqrt{140}$. $||\vec{AD}|| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12$. Косинус угла $\theta$ между прямыми $BK$ и $AD$: $\cos\theta = \frac{|\vec{BK} \cdot \vec{AD}|}{||\vec{BK}|| \cdot ||\vec{AD}||} = \frac{120}{\sqrt{140} \cdot 12} = \frac{10}{\sqrt{140}}$. Упростим выражение: $\sqrt{140} = \sqrt{4 \cdot 35} = 2\sqrt{35}$. $\cos\theta = \frac{10}{2\sqrt{35}} = \frac{5}{\sqrt{35}} = \frac{5\sqrt{35}}{35} = \frac{\sqrt{35}}{7}$. Вычислим угол: $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{7}\right) \approx \arccos(0.84515) \approx 32.23^\circ$. Округляя до $1^\circ$, получаем $32^\circ$.

Ответ: $32^\circ$