Номер 229, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

229. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $\begin{cases} x - y = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z + 1 = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} -x + y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y - z + 4 = 0 \end{cases}$

a)

Дано:
Первая прямая $L_1$ задана уравнениями плоскостей:
$x - y = 0$
$y + z = 0$
Вторая прямая $L_2$ задана уравнениями плоскостей:
$x + y + z = 0$
$2x + 3y + z = 0$

Найти:
Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$.

Решение:
Прямая в пространстве задается как пересечение двух плоскостей. Если плоскости заданы уравнениями $A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ и $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы $N_1 = (A_1, B_1, C_1)$ и $N_2 = (A_2, B_2, C_2)$. Направляющий вектор прямой $v$ является векторным произведением этих нормальных векторов: $v = N_1 \times N_2$.
Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными их направляющими векторами $v_1$ и $v_2$, находится по формуле:
$\cos \theta = \frac{|v_1 \cdot v_2|}{||v_1|| \cdot ||v_2||}$

Для первой прямой $L_1$:
Уравнения плоскостей: $x - y = 0$ и $y + z = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_1 = (1, -1, 0)$
$N_2 = (0, 1, 1)$
Направляющий вектор $v_1 = N_1 \times N_2$:
$v_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) - 0(1)) - \mathbf{j}(1(1) - 0(0)) + \mathbf{k}(1(1) - (-1)(0)) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (-1, -1, 1)$

Для второй прямой $L_2$:
Уравнения плоскостей: $x + y + z = 0$ и $2x + 3y + z = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_3 = (1, 1, 1)$
$N_4 = (2, 3, 1)$
Направляющий вектор $v_2 = N_3 \times N_4$:
$v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1(1) - 1(3)) - \mathbf{j}(1(1) - 1(2)) + \mathbf{k}(1(3) - 1(2)) = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1) = (-2, 1, 1)$

Вычислим скалярное произведение векторов $v_1$ и $v_2$:
$v_1 \cdot v_2 = (-1)(-2) + (-1)(1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$
Вычислим модули векторов $v_1$ и $v_2$:
$||v_1|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$||v_2|| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
Подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Таким образом, угол $\theta$ равен:
$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$

Ответ:
$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$

б)

Дано:
Первая прямая $L_1$ задана уравнениями плоскостей:
$2x + y - z = 0$
$x + 2y + z = 0$
Вторая прямая $L_2$ задана уравнениями плоскостей:
$x - y + 2z = 0$
$-x + 2y - z = 0$

Найти:
Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$.

Решение:
Для первой прямой $L_1$:
Уравнения плоскостей: $2x + y - z = 0$ и $x + 2y + z = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_1 = (2, 1, -1)$
$N_2 = (1, 2, 1)$
Направляющий вектор $v_1 = N_1 \times N_2$:
$v_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1(1) - (-1)(2)) - \mathbf{j}(2(1) - (-1)(1)) + \mathbf{k}(2(2) - 1(1)) = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(3) = (3, -3, 3)$.
Мы можем упростить направляющий вектор до $v_1 = (1, -1, 1)$, так как важен только его направление.

Для второй прямой $L_2$:
Уравнения плоскостей: $x - y + 2z = 0$ и $-x + 2y - z = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_3 = (1, -1, 2)$
$N_4 = (-1, 2, -1)$
Направляющий вектор $v_2 = N_3 \times N_4$:
$v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) - 2(2)) - \mathbf{j}(1(-1) - 2(-1)) + \mathbf{k}(1(2) - (-1)(-1)) = \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (-3, -1, 1)$

Вычислим скалярное произведение векторов $v_1$ и $v_2$:
$v_1 \cdot v_2 = (1)(-3) + (-1)(-1) + (1)(1) = -3 + 1 + 1 = -1$
Вычислим модули векторов $v_1$ и $v_2$:
$||v_1|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$||v_2|| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$
Подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{1}{\sqrt{33}}$
Таким образом, угол $\theta$ равен:
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right)$

Ответ:
$\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right)$

в)

Дано:
Первая прямая $L_1$ задана уравнениями плоскостей:
$x - y - z - 1 = 0$
$x + y + z + 1 = 0$
Вторая прямая $L_2$ задана уравнениями плоскостей:
$-x + y + 2z + 3 = 0$
$2x - y - z + 4 = 0$

Найти:
Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$.

Решение:
Для первой прямой $L_1$:
Уравнения плоскостей: $x - y - z - 1 = 0$ и $x + y + z + 1 = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_1 = (1, -1, -1)$
$N_2 = (1, 1, 1)$
Направляющий вектор $v_1 = N_1 \times N_2$:
$v_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) - (-1)(1)) - \mathbf{j}(1(1) - (-1)(1)) + \mathbf{k}(1(1) - (-1)(1)) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(2) = (0, -2, 2)$.
Мы можем упростить направляющий вектор до $v_1 = (0, -1, 1)$.

Для второй прямой $L_2$:
Уравнения плоскостей: $-x + y + 2z + 3 = 0$ и $2x - y - z + 4 = 0$.
Нормальные векторы плоскостей:
$N_3 = (-1, 1, 2)$
$N_4 = (2, -1, -1)$
Направляющий вектор $v_2 = N_3 \times N_4$:
$v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1(-1) - 2(-1)) - \mathbf{j}(-1(-1) - 2(2)) + \mathbf{k}(-1(-1) - 1(2)) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-1) = (1, 3, -1)$

Вычислим скалярное произведение векторов $v_1$ и $v_2$:
$v_1 \cdot v_2 = (0)(1) + (-1)(3) + (1)(-1) = 0 - 3 - 1 = -4$
Вычислим модули векторов $v_1$ и $v_2$:
$||v_1|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$
$||v_2|| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$
Подставим значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{4\sqrt{22}}{22} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$
Таким образом, угол $\theta$ равен:
$\theta = \arccos\left(\frac{2\sqrt{22}}{11}\right)$

Ответ:
$\arccos\left(\frac{2\sqrt{22}}{11}\right)$