Номер 231, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

231. Представьте, что кубик Рубика обозначен $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расположен в системе координат. В нем точки $K$ и $M$ – середины ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно, точка $N$ – центр грани $CC_1D_1D$. Найдите угол между прямыми:
а) $B_1M$ и $KN$
б) $MN$ и $B_1D$.

Дано:

Кубик Рубика $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки $K$ и $M$ - середины ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно.

Точка $N$ - центр грани $CC_1D_1D$.

Перевод в СИ:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Все координаты и длины будут выражены через $a$, что является относительной единицей измерения.

Найти:

Угол между прямыми: а) $B_1M$ и $KN$; б) $MN$ и $B_1D$.

Решение:

Представим куб в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $D(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$D(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(a,a,0)$, $C(0,a,0)$, $D_1(0,0,a)$, $A_1(a,0,a)$, $B_1(a,a,a)$, $C_1(0,a,a)$.

Найдем координаты точек $K$, $M$, $N$:

Точка $K$ - середина ребра $AA_1$. Координаты $A(a,0,0)$ и $A_1(a,0,a)$.

$K\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Точка $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(a,0,0)$ и $D(0,0,0)$.

$M\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Точка $N$ - центр грани $CC_1D_1D$. Вершины грани: $C(0,a,0)$, $C_1(0,a,a)$, $D_1(0,0,a)$, $D(0,0,0)$.

$N\left(\frac{0+0+0+0}{4}, \frac{a+a+0+0}{4}, \frac{0+a+a+0}{4}\right) = N\left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для нахождения угла между прямыми используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.

а) $B_1M$ и $KN$

Найдем координаты векторов $\vec{B_1M}$ и $\vec{KN}$:

Вектор $\vec{B_1M}$: $B_1(a,a,a)$, $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$.

$\vec{B_1M} = \left(\frac{a}{2}-a, 0-a, 0-a\right) = \left(-\frac{a}{2}, -a, -a\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u} = (1, 2, 2)$ (получен путем умножения на $-2/a$).

Вектор $\vec{KN}$: $K\left(a,0,\frac{a}{2}\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{KN} = \left(0-a, \frac{a}{2}-0, \frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right) = \left(-a, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{v} = (2, -1, 0)$ (получен путем умножения на $-2/a$).

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны, а значит, и прямые $B_1M$ и $KN$ перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $MN$ и $B_1D$

Найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{B_1D}$:

Вектор $\vec{MN}$: $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{MN} = \left(0-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-0, \frac{a}{2}-0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u'} = (-1, 1, 1)$ (получен путем умножения на $2/a$).

Вектор $\vec{B_1D}$: $B_1(a,a,a)$, $D(0,0,0)$.

$\vec{B_1D} = (0-a, 0-a, 0-a) = (-a, -a, -a)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{v'} = (1, 1, 1)$ (получен путем умножения на $-1/a$).

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u'}$ и $\vec{v'}$:

$\vec{u'} \cdot \vec{v'} = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$.

Найдем длины векторов $|\vec{u'}|$ и $|\vec{v'}|$:

$|\vec{u'}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{v'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла $\theta$ между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u'} \cdot \vec{v'}|}{|\vec{u'}||\vec{v'}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$