Страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

230. Используя условие перпендикулярности прямых, докажите, что диагональ $AC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Доказать, что диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Решение:

Для доказательства используем метод координат. Условие перпендикулярности прямых в векторной алгебре выражается через скалярное произведение векторов: если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, и ось $z$ вдоль $AA_1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $D = (0, a, 0)$
• $A_1 = (0, 0, a)$
• $C_1 = (a, a, a)$

Найдем вектор, представляющий диагональ $AC_1$:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Для доказательства перпендикулярности прямой плоскости необходимо и достаточно показать, что эта прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем в плоскости $A_1BD$ два вектора, исходящих из одной точки, например, $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1D}$. Эти векторы не коллинеарны, так как они не лежат на одной прямой и не параллельны.

Найдем вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (a - 0, 0 - 0, 0 - a) = (a, 0, -a)$

Найдем вектор $\vec{A_1D}$:

$\vec{A_1D} = D - A_1 = (0 - 0, a - 0, 0 - a) = (0, a, -a)$

Теперь проверим скалярное произведение вектора $\vec{AC_1}$ с каждым из этих векторов.

Скалярное произведение $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B} = (a)(a) + (a)(0) + (a)(-a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{A_1B}$ перпендикулярны, что означает $AC_1 \perp A_1B$.

Скалярное произведение $\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D}$:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1D} = (a)(0) + (a)(a) + (a)(-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{A_1D}$ перпендикулярны, что означает $AC_1 \perp A_1D$.

Так как диагональ $AC_1$ перпендикулярна двум непараллельным прямым $A_1B$ и $A_1D$, которые лежат в плоскости $A_1BD$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Ответ: Диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

231. Представьте, что кубик Рубика обозначен $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расположен в системе координат. В нем точки $K$ и $M$ – середины ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно, точка $N$ – центр грани $CC_1D_1D$. Найдите угол между прямыми:
а) $B_1M$ и $KN$
б) $MN$ и $B_1D$.

Дано:

Кубик Рубика $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки $K$ и $M$ - середины ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно.

Точка $N$ - центр грани $CC_1D_1D$.

Перевод в СИ:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Все координаты и длины будут выражены через $a$, что является относительной единицей измерения.

Найти:

Угол между прямыми: а) $B_1M$ и $KN$; б) $MN$ и $B_1D$.

Решение:

Представим куб в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $D(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба будут:

$D(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(a,a,0)$, $C(0,a,0)$, $D_1(0,0,a)$, $A_1(a,0,a)$, $B_1(a,a,a)$, $C_1(0,a,a)$.

Найдем координаты точек $K$, $M$, $N$:

Точка $K$ - середина ребра $AA_1$. Координаты $A(a,0,0)$ и $A_1(a,0,a)$.

$K\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Точка $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(a,0,0)$ и $D(0,0,0)$.

$M\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Точка $N$ - центр грани $CC_1D_1D$. Вершины грани: $C(0,a,0)$, $C_1(0,a,a)$, $D_1(0,0,a)$, $D(0,0,0)$.

$N\left(\frac{0+0+0+0}{4}, \frac{a+a+0+0}{4}, \frac{0+a+a+0}{4}\right) = N\left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для нахождения угла между прямыми используем формулу косинуса угла между векторами: $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.

а) $B_1M$ и $KN$

Найдем координаты векторов $\vec{B_1M}$ и $\vec{KN}$:

Вектор $\vec{B_1M}$: $B_1(a,a,a)$, $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$.

$\vec{B_1M} = \left(\frac{a}{2}-a, 0-a, 0-a\right) = \left(-\frac{a}{2}, -a, -a\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u} = (1, 2, 2)$ (получен путем умножения на $-2/a$).

Вектор $\vec{KN}$: $K\left(a,0,\frac{a}{2}\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{KN} = \left(0-a, \frac{a}{2}-0, \frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right) = \left(-a, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{v} = (2, -1, 0)$ (получен путем умножения на $-2/a$).

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны, а значит, и прямые $B_1M$ и $KN$ перпендикулярны. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) $MN$ и $B_1D$

Найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{B_1D}$:

Вектор $\vec{MN}$: $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$.

$\vec{MN} = \left(0-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-0, \frac{a}{2}-0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u'} = (-1, 1, 1)$ (получен путем умножения на $2/a$).

Вектор $\vec{B_1D}$: $B_1(a,a,a)$, $D(0,0,0)$.

$\vec{B_1D} = (0-a, 0-a, 0-a) = (-a, -a, -a)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор $\vec{v'} = (1, 1, 1)$ (получен путем умножения на $-1/a$).

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u'}$ и $\vec{v'}$:

$\vec{u'} \cdot \vec{v'} = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$.

Найдем длины векторов $|\vec{u'}|$ и $|\vec{v'}|$:

$|\vec{u'}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{v'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла $\theta$ между прямыми:

$\cos\theta = \frac{|\vec{u'} \cdot \vec{v'}|}{|\vec{u'}||\vec{v'}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$

232. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ длина стороны основания равна 12, ее высота равна 18, а точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 2 : 1$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми:

а) $AK$ и $BD$;

б) $BK$ и $AD$.

Дано:

Пирамида $PABCD$ - правильная четырехугольная.

Сторона основания $AB = a = 12$.

Высота пирамиды $PO = h = 18$.

Точка $K$ лежит на ребре $PC$ и делит его в отношении $PK : KC = 2 : 1$.

Данные без указания единиц измерения, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AK$ и $BD$ (с точностью до $1^\circ$).

Угол между прямыми $BK$ и $AD$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим начало координат $O$ в центре основания пирамиды. Ось $z$ направим по высоте $PO$. Вершины основания $A, B, C, D$ лежат в плоскости $z=0$. Поскольку основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a=12$, то диагональ основания $AC = BD = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до каждой вершины составляет $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} (12\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$. Для удобства разместим вершины основания таким образом, чтобы их координаты были целыми числами: $A = (6, -6, 0)$ $B = (6, 6, 0)$ $C = (-6, 6, 0)$ $D = (-6, -6, 0)$ Вершина пирамиды $P$ находится над центром основания на высоте $h=18$, следовательно $P = (0, 0, 18)$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 2 : 1$. Используя формулу деления отрезка в заданном отношении: $K = \frac{1 \cdot P + 2 \cdot C}{1+2} = \frac{1}{3} P + \frac{2}{3} C$ $K = \frac{1}{3}(0, 0, 18) + \frac{2}{3}(-6, 6, 0) = (0, 0, 6) + (-4, 4, 0) = (-4, 4, 6)$.

Найдем векторы, соответствующие прямым.

а) AK и BD

Вектор $\vec{AK} = K - A = (-4 - 6, 4 - (-6), 6 - 0) = (-10, 10, 6)$. Вектор $\vec{BD} = D - B = (-6 - 6, -6 - 6, 0 - 0) = (-12, -12, 0)$. Угол $\phi$ между двумя прямыми определяется по формуле $\cos\phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$. Скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AK} \cdot \vec{BD} = (-10)(-12) + (10)(-12) + (6)(0) = 120 - 120 + 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{BD}$ ортогональны. Следовательно, угол между прямыми $AK$ и $BD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) BK и AD

Вектор $\vec{BK} = K - B = (-4 - 6, 4 - 6, 6 - 0) = (-10, -2, 6)$. Вектор $\vec{AD} = D - A = (-6 - 6, -6 - (-6), 0 - 0) = (-12, 0, 0)$. Скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{AD}$: $\vec{BK} \cdot \vec{AD} = (-10)(-12) + (-2)(0) + (6)(0) = 120 + 0 + 0 = 120$. Длины (модули) векторов: $||\vec{BK}|| = \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 4 + 36} = \sqrt{140}$. $||\vec{AD}|| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12$. Косинус угла $\theta$ между прямыми $BK$ и $AD$: $\cos\theta = \frac{|\vec{BK} \cdot \vec{AD}|}{||\vec{BK}|| \cdot ||\vec{AD}||} = \frac{120}{\sqrt{140} \cdot 12} = \frac{10}{\sqrt{140}}$. Упростим выражение: $\sqrt{140} = \sqrt{4 \cdot 35} = 2\sqrt{35}$. $\cos\theta = \frac{10}{2\sqrt{35}} = \frac{5}{\sqrt{35}} = \frac{5\sqrt{35}}{35} = \frac{\sqrt{35}}{7}$. Вычислим угол: $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{7}\right) \approx \arccos(0.84515) \approx 32.23^\circ$. Округляя до $1^\circ$, получаем $32^\circ$.

Ответ: $32^\circ$

233. Основание $ABCD$ пирамиды $PABCD$ – ромб с диагоналями $AC = 16$, $BD = 9$, $O$ – точка пересечения диагоналей, $PO$ – высота пирамиды, $PO = 12$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми $AD$ и $PC$.

Дано:

Основание пирамиды $PABCD$ — ромб $ABCD$.

Диагонали ромба: $AC = 16$, $BD = 9$.

$O$ — точка пересечения диагоналей ромба.

$PO$ — высота пирамиды, $PO = 12$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в безразмерных единицах длины и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $PC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD$ и $PC$, перенесем одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Поскольку $ABCD$ — ромб, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$. Таким образом, угол между прямыми $AD$ и $PC$ равен углу между прямыми $BC$ и $PC$. Этот угол является углом $\angle PCB$ в треугольнике $PBC$.

1. Найдем длины отрезков, необходимых для вычислений.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам.

Следовательно, $AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

2. Найдем длину стороны ромба $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ (так как диагонали ромба перпендикулярны). По теореме Пифагора:

$BC^2 = BO^2 + OC^2$

$BC^2 = (4.5)^2 + 8^2 = 20.25 + 64 = 84.25$

$BC = \sqrt{84.25}$

3. Найдем длину ребра $PC$.

Поскольку $PO$ — высота пирамиды, $PO \perp OC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $POC$. По теореме Пифагора:

$PC^2 = PO^2 + OC^2$

$PC^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$

$PC = \sqrt{208}$

4. Найдем длину ребра $PB$.

Поскольку $PO$ — высота пирамиды, $PO \perp OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $POB$. По теореме Пифагора:

$PB^2 = PO^2 + OB^2$

$PB^2 = 12^2 + (4.5)^2 = 144 + 20.25 = 164.25$

$PB = \sqrt{164.25}$

5. Применим теорему косинусов для треугольника $PBC$.

Используем теорему косинусов для нахождения угла $\angle PCB$:

$PB^2 = BC^2 + PC^2 - 2 \cdot BC \cdot PC \cdot \cos(\angle PCB)$

Подставим найденные значения:

$164.25 = 84.25 + 208 - 2 \cdot \sqrt{84.25} \cdot \sqrt{208} \cdot \cos(\angle PCB)$

$164.25 = 292.25 - 2 \cdot \sqrt{84.25 \cdot 208} \cdot \cos(\angle PCB)$

$2 \cdot \sqrt{17524} \cdot \cos(\angle PCB) = 292.25 - 164.25$

$2 \cdot \sqrt{17524} \cdot \cos(\angle PCB) = 128$

$\cos(\angle PCB) = \frac{128}{2 \cdot \sqrt{17524}} = \frac{64}{\sqrt{17524}}$

Вычислим значение:

$\cos(\angle PCB) \approx \frac{64}{132.3789} \approx 0.483471$

$\angle PCB = \arccos(0.483471)$

$\angle PCB \approx 61.08^\circ$

Округлим до $1^\circ$.

$\angle PCB \approx 61^\circ$

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $PC$ равен $61^\circ$.

234. Основание прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ – прямоугольный треугольник с катетами $AC = 5$ и $BC = 12$, а ее боковое ребро равно 12. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Прямая призма $ABCA_1B_1C_1$.
Основание $ABC$ - прямоугольный треугольник.
Катеты основания: $AC = 5$, $BC = 12$.
Боковое ребро (высота призмы): $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 12$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в условных единицах длины, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в точке $C(0,0,0)$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с катетами $AC$ и $BC$, лежащими на осях координат, координаты вершин основания будут:

$C = (0,0,0)$
$A = (5,0,0)$ (так как $AC=5$, и лежит вдоль оси X)
$B = (0,12,0)$ (так как $BC=12$, и лежит вдоль оси Y)

Поскольку призма прямая, боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, а их длина равна 12. Координаты вершин верхнего основания:

$C_1 = (0,0,12)$
$B_1 = (0,12,12)$

Найдем векторы, направляющие прямые $AB$ и $CB_1$.

Вектор $\vec{AB}$: $\vec{AB} = B - A = (0-5, 12-0, 0-0) = (-5, 12, 0)$.

Вектор $\vec{CB_1}$: $\vec{CB_1} = B_1 - C = (0-0, 12-0, 12-0) = (0, 12, 12)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CB_1}$: $\vec{AB} \cdot \vec{CB_1} = (-5)(0) + (12)(12) + (0)(12) = 0 + 144 + 0 = 144$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13$. $|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 144 + 144} = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{144}{13 \cdot 12\sqrt{2}} = \frac{12}{13\sqrt{2}}$.

Рационализируем знаменатель: $\cos \theta = \frac{12\sqrt{2}}{13\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{6\sqrt{2}}{13}$.

Следовательно, искомый угол равен: $\theta = \arccos\left(\frac{6\sqrt{2}}{13}\right)$.

Ответ:

Угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ равен $\arccos\left(\frac{6\sqrt{2}}{13}\right)$.

235. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $O$ – точка пересечения его диагоналей, $M \in DC$ и $CM : MD = 1 : 4$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми $OM$ и $AM$.

Дано

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(O\) — точка пересечения его диагоналей. Точка \(M\) лежит на ребре \(DC\). Соотношение длин отрезков \(CM : MD = 1 : 4\). Пусть длина ребра куба равна \(a\).

Найти:

Угол между прямыми \(OM\) и \(AM\) с точностью до \(1^\circ\).

Решение

Введем систему координат с началом в точке \(A\). Оси координат направим вдоль ребер \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\).

Координаты вершин куба:

• \(A = (0, 0, 0)\)

• \(B = (a, 0, 0)\)

• \(C = (a, a, 0)\)

• \(D = (0, a, 0)\)

• \(A_1 = (0, 0, a)\)

• \(B_1 = (a, 0, a)\)

• \(C_1 = (a, a, a)\)

• \(D_1 = (0, a, a)\)

Точка \(O\) — центр куба, является точкой пересечения его диагоналей. Ее координаты:

\(O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\)

Точка \(M\) лежит на ребре \(DC\). Из условия \(CM : MD = 1 : 4\), следует, что \(M\) делит отрезок \(DC\) в отношении \(1:4\), считая от \(C\). Ребро \(DC\) находится в плоскости \(z=0\) и имеет координаты \(D(0, a, 0)\) и \(C(a, a, 0)\). Длина отрезка \(DC\) равна \(a\). Тогда \(CM = \frac{1}{5}a\) и \(MD = \frac{4}{5}a\). Поскольку точка \(M\) ближе к \(C\), ее \(x\)-координата будет \(a - \frac{1}{5}a = \frac{4a}{5}\).

Координаты точки \(M\):

\(M = \left(\frac{4a}{5}, a, 0\right)\)

Теперь найдем координаты векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{OM}\):

\(\vec{AM} = M - A = \left(\frac{4a}{5} - 0, a - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{4a}{5}, a, 0\right)\)

\(\vec{OM} = M - O = \left(\frac{4a}{5} - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}\right)\)

\(\vec{OM} = \left(\frac{8a - 5a}{10}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{10}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right)\)

Для нахождения угла \(\theta\) между векторами \(\vec{AM}\) и \(\vec{OM}\) воспользуемся формулой скалярного произведения:

\(\cos \theta = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{OM}}{|\vec{AM}| |\vec{OM}|}\)

Вычислим скалярное произведение \(\vec{AM} \cdot \vec{OM}\):

\(\vec{AM} \cdot \vec{OM} = \left(\frac{4a}{5}\right)\left(\frac{3a}{10}\right) + (a)\left(\frac{a}{2}\right) + (0)\left(-\frac{a}{2}\right)\)

\(= \frac{12a^2}{50} + \frac{a^2}{2} + 0\)

\(= \frac{6a^2}{25} + \frac{25a^2}{50}\)

\(= \frac{12a^2}{50} + \frac{25a^2}{50} = \frac{37a^2}{50}\)

Вычислим длины векторов \(|\vec{AM}|\) и \(|\vec{OM}|\):

\(|\vec{AM}| = \sqrt{\left(\frac{4a}{5}\right)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{16a^2}{25} + a^2} = \sqrt{\frac{16a^2 + 25a^2}{25}} = \sqrt{\frac{41a^2}{25}} = \frac{a\sqrt{41}}{5}\)

\(|\vec{OM}| = \sqrt{\left(\frac{3a}{10}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2}\)

\(= \sqrt{\frac{9a^2}{100} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{100} + \frac{25a^2}{100} + \frac{25a^2}{100}}\)

\(= \sqrt{\frac{(9 + 25 + 25)a^2}{100}} = \sqrt{\frac{59a^2}{100}} = \frac{a\sqrt{59}}{10}\)

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos \theta = \frac{\frac{37a^2}{50}}{\left(\frac{a\sqrt{41}}{5}\right)\left(\frac{a\sqrt{59}}{10}\right)}\)

\(\cos \theta = \frac{\frac{37a^2}{50}}{\frac{a^2\sqrt{41 \cdot 59}}{50}}\)

\(\cos \theta = \frac{37}{\sqrt{41 \cdot 59}}\)

Вычислим произведение под корнем:

\(41 \cdot 59 = 2419\)

Тогда:

\(\cos \theta = \frac{37}{\sqrt{2419}}\)

Найдем приближенное значение \(\cos \theta\):

\(\sqrt{2419} \approx 49.183327\)

\(\cos \theta \approx \frac{37}{49.183327} \approx 0.752300\)

Вычислим угол \(\theta\):

\(\theta = \arccos(0.752300) \approx 41.201^\circ\)

Округлим результат до \(1^\circ\).

\(\theta \approx 41^\circ\)

Ответ:

Угол между прямыми \(OM\) и \(AM\) составляет примерно \(41^\circ\).

236. Дана пирамида $PABC$, вершинами основания которой являются точки $A(5; 1; -1)$, $B(5; -2; 2)$ и $C(2; -2; 1)$, а вершина $P$ принадлежит оси $Oz$ и $\vec{PC} \perp \vec{CB}$. Найдите угол между прямыми $PC$ и $AB$.

Дано

Координаты вершин основания пирамиды: $A(5; 1; -1)$, $B(5; -2; 2)$, $C(2; -2; 1)$.

Вершина $P$ принадлежит оси $Oz$, следовательно, ее координаты имеют вид $P(0; 0; z_P)$.

Вектор $\vec{PC}$ перпендикулярен вектору $\vec{CB}$ ($\vec{PC} \perp \vec{CB}$).

Перевод в СИ

Координаты точек представлены в декартовой системе координат. Единицы измерения не указаны, поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $PC$ и $AB$.

Решение

1. Найдем координаты точки P.

Так как точка $P$ лежит на оси $Oz$, ее координаты имеют вид $P(0; 0; z_P)$.

Найдем координаты вектора $\vec{PC}$:

$ \vec{PC} = C - P = (2-0; -2-0; 1-z_P) = (2; -2; 1-z_P) $

Найдем координаты вектора $\vec{CB}$:

$ \vec{CB} = B - C = (5-2; -2-(-2); 2-1) = (3; 0; 1) $

По условию $\vec{PC} \perp \vec{CB}$, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

$ \vec{PC} \cdot \vec{CB} = 0 $

$ (2)(3) + (-2)(0) + (1-z_P)(1) = 0 $

$ 6 + 0 + 1 - z_P = 0 $

$ 7 - z_P = 0 $

$ z_P = 7 $

Таким образом, координаты точки $P$ равны $P(0; 0; 7)$.

Теперь мы можем уточнить вектор $\vec{PC}$:

$ \vec{PC} = (2; -2; 1-7) = (2; -2; -6) $

Ответ:

2. Найдем угол между прямыми PC и AB.

Для нахождения угла между прямыми $PC$ и $AB$ нам понадобятся их направляющие векторы. Вектор $\vec{PC}$ уже найден, он является направляющим вектором прямой $PC$.

$ \vec{u} = \vec{PC} = (2; -2; -6) $

Найдем направляющий вектор прямой $AB$:

$ \vec{v} = \vec{AB} = B - A = (5-5; -2-1; 2-(-1)) = (0; -3; 3) $

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(0) + (-2)(-3) + (-6)(3) = 0 + 6 - 18 = -12 $

Вычислим модули (длины) векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} $

$ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $

Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$ \cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{11})(3\sqrt{2})} = \frac{12}{6\sqrt{22}} = \frac{2}{\sqrt{22}} = \frac{2\sqrt{22}}{22} = \frac{\sqrt{22}}{11} $

Угол $\theta$ между прямыми $PC$ и $AB$ равен:

$ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{22}}{11}\right) $

Ответ:

Ответ:

Угол между прямыми $PC$ и $AB$ составляет $ \arccos\left(\frac{\sqrt{22}}{11}\right) $.

237. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ длина каждого ребра равна $a$, точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK : KC = 1 : 2$. Найдите угол между прямыми:

а) $AK$ и $DC$;

б) $BK$ и $AD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $PABCD$.

Длина каждого ребра $a$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK:KC = 1:2$.

Найти:

Угол между прямыми:

• a) AK и DC;
• б) BK и AD.

Решение

Поскольку длина каждого ребра пирамиды равна $a$, то в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Введем декартову систему координат с началом в точке $D$. Оси $Dx$ и $Dy$ направим вдоль ребер $DC$ и $DA$ соответственно. Ось $Dz$ направим перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

Координаты вершин основания:

$D = (0,0,0)$

$C = (a,0,0)$

$A = (0,a,0)$

$B = (a,a,0)$

Найдем координаты вершины $P$. Центр основания $O$ – это середина диагонали $AC$, то есть $O = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Высота пирамиды $PO$ перпендикулярна плоскости основания. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Длина отрезка $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $POA$ (где $P$ – вершина, $O$ – центр основания, $A$ – вершина основания) по теореме Пифагора $PO^2 = PA^2 - AO^2$.

$PO^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Высота пирамиды $h = PO = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, координаты вершины $P = (a/2, a/2, a\sqrt{2}/2)$.

Точка $K$ делит ребро $PC$ в отношении $PK:KC = 1:2$. Используем формулу деления отрезка в данном отношении:

$\vec{K} = \frac{2\vec{P} + 1\vec{C}}{1+2} = \frac{2\vec{P} + \vec{C}}{3}$

$K = \frac{1}{3} \left( 2\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right) + (a,0,0) \right) = \frac{1}{3} \left( (a, a, a\sqrt{2}) + (a,0,0) \right) = \frac{1}{3} (2a, a, a\sqrt{2}) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

a) AK и DC;

Найдем векторы, задающие направления прямых $AK$ и $DC$.

Вектор $\vec{DC} = C - D = (a,0,0) - (0,0,0) = (a,0,0)$.

Вектор $\vec{AK} = K - A = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) - (0,a,0) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}-a, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{DC}| = \sqrt{a^2+0^2+0^2} = a$.

$|\vec{AK}| = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{2a^2}{9}} = \sqrt{\frac{10a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{10}}{3}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AK}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AK} \cdot \vec{DC} = \left(\frac{2a}{3}\right)(a) + \left(-\frac{2a}{3}\right)(0) + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)(0) = \frac{2a^2}{3}$.

Косинус угла $\theta$ между прямыми $AK$ и $DC$ определяется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AK} \cdot \vec{DC}|}{|\vec{AK}| |\vec{DC}|} = \frac{\left|\frac{2a^2}{3}\right|}{\left(\frac{a\sqrt{10}}{3}\right)(a)} = \frac{\frac{2a^2}{3}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

Следовательно, угол $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$

б) BK и AD.

Найдем векторы, задающие направления прямых $BK$ и $AD$.

Вектор $\vec{AD} = D - A = (0,0,0) - (0,a,0) = (0,-a,0)$.

Вектор $\vec{BK} = K - B = \left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) - (a,a,0) = \left(\frac{2a}{3}-a, \frac{a}{3}-a, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right) = \left(-\frac{a}{3}, -\frac{2a}{3}, \frac{a\sqrt{2}}{3}\right)$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{AD}| = \sqrt{0^2+(-a)^2+0^2} = a$.

$|\vec{BK}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9} + \frac{2a^2}{9}} = \sqrt{\frac{7a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{BK} \cdot \vec{AD} = \left(-\frac{a}{3}\right)(0) + \left(-\frac{2a}{3}\right)(-a) + \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)(0) = \frac{2a^2}{3}$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми $BK$ и $AD$ определяется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{BK} \cdot \vec{AD}|}{|\vec{BK}| |\vec{AD}|} = \frac{\left|\frac{2a^2}{3}\right|}{\left(\frac{a\sqrt{7}}{3}\right)(a)} = \frac{\frac{2a^2}{3}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.

Следовательно, угол $\phi = \arccos\left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)$

238. В правильном тетраэдре $DABC$ точка $K$ – середина ребра $AD$, точки $M$ и $N$ – центры граней $ABC$ и $BCD$ соответственно. Найдите угол между прямыми:

а) $MN$ и $AB$;

б) $MK$ и $AC$.

Дано:

Дан правильный тетраэдр $DABC$.

Точка $K$ — середина ребра $AD$.

Точка $M$ — центр грани $ABC$.

Точка $N$ — центр грани $BCD$.

Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

Найти:

а) Угол между прямыми $MN$ и $AB$.

б) Угол между прямыми $MK$ и $AC$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат.

Расположим вершину $A$ в начале координат: $A = (0, 0, 0)$.

Вершину $B$ расположим на оси $Ox$: $B = (a, 0, 0)$.

Вершину $C$ расположим в плоскости $Oxy$. Так как $\triangle ABC$ является правильным (равносторонним) со стороной $a$, координаты $C$ будут: $C = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Для нахождения координат вершины $D = (x_D, y_D, z_D)$ воспользуемся тем, что она равноудалена от вершин $A, B, C$ на расстояние $a$. Также известно, что в правильном тетраэдре вершина $D$ проецируется в центр основания $ABC$. Центр $M$ грани $ABC$ имеет координаты: $M = ((0+a+a/2)/3, (0+0+a\sqrt{3}/2)/3, (0+0+0)/3) = (a/2, a\sqrt{3}/6, 0)$.

Таким образом, $x_D = a/2$, $y_D = a\sqrt{3}/6$.

Найдем $z_D$ из условия $DA^2 = a^2$: $x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 = a^2$.

$(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/6)^2 + z_D^2 = a^2$

$a^2/4 + 3a^2/36 + z_D^2 = a^2$

$a^2/4 + a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$3a^2/12 + a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$4a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$a^2/3 + z_D^2 = a^2$

$z_D^2 = a^2 - a^2/3 = 2a^2/3$

$z_D = a\sqrt{2/3} = a\sqrt{6}/3$ (берем положительное значение, так как тетраэдр расположен "вверх").

Итак, координаты вершин: $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $D=(a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/3)$.

Найдем координаты точек $K, M, N$:

• Координаты $K$: $K$ — середина ребра $AD$.

  $K = ((0+a/2)/2, (0+a\sqrt{3}/6)/2, (0+a\sqrt{6}/3)/2) = (a/4, a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$.

• Координаты $M$: $M$ — центр грани $ABC$. Это центр тяжести (центроид) треугольника $ABC$.

  $M = ((0+a+a/2)/3, (0+0+a\sqrt{3}/2)/3, (0+0+0)/3) = (a/2, a\sqrt{3}/6, 0)$.

• Координаты $N$: $N$ — центр грани $BCD$. Это центроид треугольника $BCD$.

  $N_x = (a+a/2+a/2)/3 = (2a)/3$

  $N_y = (0+a\sqrt{3}/2+a\sqrt{3}/6)/3 = (3a\sqrt{3}/6 + a\sqrt{3}/6)/3 = (4a\sqrt{3}/6)/3 = (2a\sqrt{3}/3)/3 = 2a\sqrt{3}/9$

  $N_z = (0+0+a\sqrt{6}/3)/3 = a\sqrt{6}/9$

  $N = (2a/3, 2a\sqrt{3}/9, a\sqrt{6}/9)$.

Для нахождения угла $\theta$ между прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, используется формула $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Мы будем использовать скалярное произведение векторов, а затем, если косинус будет отрицательным, возьмем его абсолютное значение, чтобы получить острый угол между прямыми.

а) MN и AB

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{MN} = N - M = (2a/3 - a/2, 2a\sqrt{3}/9 - a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/9 - 0)$

$\vec{MN} = (4a/6 - 3a/6, 4a\sqrt{3}/18 - 3a\sqrt{3}/18, a\sqrt{6}/9)$

$\vec{MN} = (a/6, a\sqrt{3}/18, a\sqrt{6}/9)$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{MN}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{MN} = (a)(a/6) + (0)(a\sqrt{3}/18) + (0)(a\sqrt{6}/9) = a^2/6$.

Длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$.

$|\vec{MN}| = \sqrt{(a/6)^2 + (a\sqrt{3}/18)^2 + (a\sqrt{6}/9)^2}$

$|\vec{MN}| = \sqrt{a^2/36 + 3a^2/324 + 6a^2/81}$

$|\vec{MN}| = \sqrt{a^2/36 + a^2/108 + 2a^2/27}$

Приведем дроби к общему знаменателю 108:

$|\vec{MN}| = \sqrt{3a^2/108 + a^2/108 + 8a^2/108} = \sqrt{(3a^2 + a^2 + 8a^2)/108} = \sqrt{12a^2/108} = \sqrt{a^2/9} = a/3$.

Косинус угла $\theta$ между прямыми $MN$ и $AB$:

$\cos\theta = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{MN}|}{|\vec{AB}| |\vec{MN}|} = \frac{|a^2/6|}{a \cdot (a/3)} = \frac{a^2/6}{a^2/3} = \frac{1/6}{1/3} = 1/2$.

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) MK и AC

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{MK}$.

$\vec{AC} = C - A = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0-0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{MK} = K - M = (a/4 - a/2, a\sqrt{3}/12 - a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/6 - 0)$

$\vec{MK} = (a/4 - 2a/4, a\sqrt{3}/12 - 2a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$

$\vec{MK} = (-a/4, -a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$.

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{MK}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{MK} = (a/2)(-a/4) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/12) + (0)(a\sqrt{6}/6)$

$\vec{AC} \cdot \vec{MK} = -a^2/8 - 3a^2/24 = -a^2/8 - a^2/8 = -2a^2/8 = -a^2/4$.

Длины векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{MK}| = \sqrt{(-a/4)^2 + (-a\sqrt{3}/12)^2 + (a\sqrt{6}/6)^2}$

$|\vec{MK}| = \sqrt{a^2/16 + 3a^2/144 + 6a^2/36}$

Приведем дроби к общему знаменателю 144 (или 48):

$|\vec{MK}| = \sqrt{9a^2/144 + 3a^2/144 + 24a^2/144} = \sqrt{(9a^2 + 3a^2 + 24a^2)/144} = \sqrt{36a^2/144} = \sqrt{a^2/4} = a/2$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми $MK$ и $AC$:

$\cos\phi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{MK}|}{|\vec{AC}| |\vec{MK}|} = \frac{|-a^2/4|}{a \cdot (a/2)} = \frac{a^2/4}{a^2/2} = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$.

$\phi = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.