Страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. По каким формулам можно найти угол между двумя прямыми?

2. Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых пространства.

1. По каким формулам можно найти угол между двумя прямыми?

Угол между двумя прямыми можно найти несколькими способами, в зависимости от того, как они заданы.

А) Если прямые заданы в пространстве с помощью направляющих векторов.

Пусть даны две прямые с направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$. Угол $\phi$ между этими прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:

$\cos\phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| \cdot |\vec{s_2}|}$

В координатной форме формула выглядит так:

$\cos\phi = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$

Модуль в числителе используется для нахождения острого угла между прямыми.

Б) Если прямые заданы на плоскости уравнениями с угловым коэффициентом.

Пусть прямые заданы уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Тогда тангенс угла $\phi$ между ними можно найти по формуле:

$\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$

Эта формула не применима, если одна из прямых перпендикулярна оси абсцисс (так как ее угловой коэффициент не определен).

Ответ: Угол $\phi$ между прямыми можно найти по формулам $\cos\phi = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ (для прямых в пространстве) или $\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$ (для прямых на плоскости).

2. Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых пространства.

Рассмотрим две прямые в пространстве, заданные своими направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$.

Условие параллельности:

Две прямые в пространстве параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Таким образом, условие параллельности прямых имеет вид:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$

Условие перпендикулярности:

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны (перпендикулярны). Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается так:

$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$

Ответ: Условие параллельности прямых с направляющими векторами $(l_1, m_1, n_1)$ и $(l_2, m_2, n_2)$ — это $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$. Условие их перпендикулярности — это $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.

218. Докажите, что прямые:

a)

$ \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3} $ и $ \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9} $ параллельны;

б)

$ \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3} $ и $ \frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3} $ перпендикулярны.

Дано:

а) Прямые заданы каноническими уравнениями: $L_1: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ $L_2: \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9}$

б) Прямые заданы каноническими уравнениями: $L_3: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ $L_4: \frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3}$

Найти:

а) Доказать, что прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. б) Доказать, что прямые $L_3$ и $L_4$ перпендикулярны.

Решение:

а)

Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны, их направляющие векторы должны быть коллинеарны (т.е. пропорциональны).

Из канонического уравнения первой прямой $L_1: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{u_1} = (5, 4, 3)$.

Из канонического уравнения второй прямой $L_2: \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{u_2} = (15, 12, 9)$.

Проверим пропорциональность координат направляющих векторов: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Так как отношения соответствующих координат равны ($\frac{5}{15} = \frac{4}{12} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$), направляющие векторы $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ коллинеарны. Следовательно, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны.

Ответ: Прямые параллельны.

б)

Для того чтобы две прямые в пространстве были перпендикулярны, скалярное произведение их направляющих векторов должно быть равно нулю.

Из канонического уравнения первой прямой $L_3: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{v_1} = (5, 4, 3)$.

Уравнение второй прямой $L_4$ задано как $\frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3}$. Преобразуем среднюю часть к стандартному виду $\frac{y - y_0}{m}$: $\frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{y - 1}{\frac{-19}{4}}$

Таким образом, направляющий вектор второй прямой $L_4$ есть $\vec{v_2} = (2, \frac{-19}{4}, 3)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (5)(2) + (4)(\frac{-19}{4}) + (3)(3)$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 10 - 19 + 9$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = -9 + 9$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, прямые $L_3$ и $L_4$ перпендикулярны.

Ответ: Прямые перпендикулярны.

219. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

a) $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-4}{1}$ и $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z+1}{4}$;

б) $\frac{x-5}{-3} = \frac{y+1}{12} = \frac{z+2}{-4}$ и $\frac{x+7}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{6}$.

a)

Дано:

Уравнения прямых:

$l_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-4}{1}$

$l_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z+1}{4}$

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется через их направляющие векторы. Если направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ равны $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ соответственно, то косинус угла $\theta$ между ними вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ - скалярное произведение векторов, а $||\vec{a}||$ и $||\vec{b}||$ - их модули (длины).

Из уравнений прямых находим направляющие векторы:

Для $l_1$: $\vec{a} = (2, 2, 1)$

Для $l_2$: $\vec{b} = (2, 4, 4)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (2)(4) + (1)(4) = 4 + 8 + 4 = 16$

Вычислим модули векторов:

$||\vec{a}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|16|}{3 \cdot 6} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

Тогда угол $\theta$ равен:

$\theta = \arccos\left(\frac{8}{9}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{8}{9}\right)$

б)

Дано:

Уравнения прямых:

$l_1: \frac{x-5}{-3} = \frac{y+1}{12} = \frac{z+2}{-4}$

$l_2: \frac{x+7}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{6}$

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Решение:

Используем ту же формулу для нахождения угла между прямыми:

$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$

Из уравнений прямых находим направляющие векторы:

Для $l_1$: $\vec{a} = (-3, 12, -4)$

Для $l_2$: $\vec{b} = (2, 3, 6)$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(2) + (12)(3) + (-4)(6) = -6 + 36 - 24 = 6$

Вычислим модули векторов:

$||\vec{a}|| = \sqrt{(-3)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$

$||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|6|}{13 \cdot 7} = \frac{6}{91}$

Тогда угол $\theta$ равен:

$\theta = \arccos\left(\frac{6}{91}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{6}{91}\right)$