Номер 218, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

218. Докажите, что прямые:

a)

$ \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3} $ и $ \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9} $ параллельны;

б)

$ \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3} $ и $ \frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3} $ перпендикулярны.

Дано:

а) Прямые заданы каноническими уравнениями: $L_1: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ $L_2: \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9}$

б) Прямые заданы каноническими уравнениями: $L_3: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ $L_4: \frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3}$

Найти:

а) Доказать, что прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. б) Доказать, что прямые $L_3$ и $L_4$ перпендикулярны.

Решение:

а)

Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны, их направляющие векторы должны быть коллинеарны (т.е. пропорциональны).

Из канонического уравнения первой прямой $L_1: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{u_1} = (5, 4, 3)$.

Из канонического уравнения второй прямой $L_2: \frac{x + 2}{15} = \frac{y - 1}{12} = \frac{z - 2}{9}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{u_2} = (15, 12, 9)$.

Проверим пропорциональность координат направляющих векторов: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Так как отношения соответствующих координат равны ($\frac{5}{15} = \frac{4}{12} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$), направляющие векторы $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ коллинеарны. Следовательно, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны.

Ответ: Прямые параллельны.

б)

Для того чтобы две прямые в пространстве были перпендикулярны, скалярное произведение их направляющих векторов должно быть равно нулю.

Из канонического уравнения первой прямой $L_3: \frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ находим ее направляющий вектор: $\vec{v_1} = (5, 4, 3)$.

Уравнение второй прямой $L_4$ задано как $\frac{x + 2}{2} = \frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{z - 2}{3}$. Преобразуем среднюю часть к стандартному виду $\frac{y - y_0}{m}$: $\frac{4(y - 1)}{-19} = \frac{y - 1}{\frac{-19}{4}}$

Таким образом, направляющий вектор второй прямой $L_4$ есть $\vec{v_2} = (2, \frac{-19}{4}, 3)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (5)(2) + (4)(\frac{-19}{4}) + (3)(3)$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 10 - 19 + 9$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = -9 + 9$ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, прямые $L_3$ и $L_4$ перпендикулярны.

Ответ: Прямые перпендикулярны.