Номер 216, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

216. Дан тетраэдр $PABC$, каждое боковое ребро которого равно 2 и все плоские углы при вершине $P$ – прямые. Найдите расстояние от вершины $P$ до плоскости, проходящей через середины его ребер $AC$, $AB$ и $CP$.

Дано:

Тетраэдр $PABC$.

Длины боковых ребер: $PA = PB = PC = 2$.

Плоские углы при вершине $P$ прямые: $\angle APB = 90^\circ$, $\angle BPC = 90^\circ$, $\angle CPA = 90^\circ$.

Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AC$, $AB$ и $CP$.

Найти:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости $\alpha$.

Решение:

Поскольку плоские углы при вершине $P$ прямые и длины ребер $PA, PB, PC$ равны, удобно ввести декартову систему координат с началом в точке $P$. Ось $x$ направим вдоль $PA$, ось $y$ вдоль $PB$, и ось $z$ вдоль $PC$.

Тогда координаты вершин будут:

$P = (0, 0, 0)$

$A = (2, 0, 0)$

$B = (0, 2, 0)$

$C = (0, 0, 2)$

Найдем координаты середин указанных ребер:

Пусть $M_1$ — середина ребра $AC$. Координаты $M_1$:

$M_1 = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 0, 1)$

Пусть $M_2$ — середина ребра $AB$. Координаты $M_2$:

$M_2 = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 1, 0)$

Пусть $M_3$ — середина ребра $CP$. Координаты $M_3$:

$M_3 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (0, 0, 1)$

Теперь найдем уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точки $M_1(1,0,1)$, $M_2(1,1,0)$ и $M_3(0,0,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{M_3M_1} = M_1 - M_3 = (1-0, 0-0, 1-1) = (1, 0, 0)$

$\vec{M_3M_2} = M_2 - M_3 = (1-0, 1-0, 0-1) = (1, 1, -1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{M_3M_1} \times \vec{M_3M_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1)$

$\vec{n} = (0, 1, 1)$

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты вектора нормали $(A,B,C) = (0,1,1)$, получаем $0x + 1y + 1z + D = 0$, или $y + z + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты одной из точек, например $M_3(0,0,1)$, в уравнение плоскости:

$0 + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$

Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$ есть $y + z - 1 = 0$.

Теперь вычислим расстояние от вершины $P(0,0,0)$ до плоскости $y + z - 1 = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ равна $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$ и $A=0, B=1, C=1, D=-1$.

$d = \frac{|0(0) + 1(0) + 1(0) - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости, проходящей через середины его ребер $AC$, $AB$ и $CP$, равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.