Вопросы?, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. По каким формулам можно найти угол между двумя прямыми?

2. Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых пространства.

1. По каким формулам можно найти угол между двумя прямыми?

Угол между двумя прямыми можно найти несколькими способами, в зависимости от того, как они заданы.

А) Если прямые заданы в пространстве с помощью направляющих векторов.

Пусть даны две прямые с направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$. Угол $\phi$ между этими прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:

$\cos\phi = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|}{|\vec{s_1}| \cdot |\vec{s_2}|}$

В координатной форме формула выглядит так:

$\cos\phi = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$

Модуль в числителе используется для нахождения острого угла между прямыми.

Б) Если прямые заданы на плоскости уравнениями с угловым коэффициентом.

Пусть прямые заданы уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Тогда тангенс угла $\phi$ между ними можно найти по формуле:

$\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$

Эта формула не применима, если одна из прямых перпендикулярна оси абсцисс (так как ее угловой коэффициент не определен).

Ответ: Угол $\phi$ между прямыми можно найти по формулам $\cos\phi = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$ (для прямых в пространстве) или $\tan\phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|$ (для прямых на плоскости).

2. Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых пространства.

Рассмотрим две прямые в пространстве, заданные своими направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$.

Условие параллельности:

Две прямые в пространстве параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Таким образом, условие параллельности прямых имеет вид:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$

Условие перпендикулярности:

Две прямые в пространстве перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны (перпендикулярны). Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, условие перпендикулярности прямых имеет вид:

$\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается так:

$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$

Ответ: Условие параллельности прямых с направляющими векторами $(l_1, m_1, n_1)$ и $(l_2, m_2, n_2)$ — это $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2}$. Условие их перпендикулярности — это $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.