Номер 220, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

220. Найдите угол между прямой:

a) $ \frac{x+2}{-4} = \frac{y-1}{2\sqrt{2}} = \frac{z}{-2\sqrt{2}} $ и осью абсцисс;

б) $ \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{y+1}{4\sqrt{3}} = \frac{z}{2\sqrt{2}} $ и осью ординат.

Дано

Прямая (a) задана каноническим уравнением: $L_a: \frac{x+2}{-4} = \frac{y-1}{2\sqrt{2}} = \frac{z}{-2\sqrt{2}}$
Прямая (б) задана каноническим уравнением: $L_b: \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{y+1}{4\sqrt{3}} = \frac{z}{2\sqrt{2}}$
Ось абсцисс (ось Ox) имеет направляющий вектор $\vec{e_x} = (1, 0, 0)$.
Ось ординат (ось Oy) имеет направляющий вектор $\vec{e_y} = (0, 1, 0)$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача не содержит физических величин).

Найти

Угол между прямой $L_a$ и осью абсцисс.
Угол между прямой $L_b$ и осью ординат.

Решение

Угол $\theta$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{v_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{v_2} = (l_2, m_2, n_2)$, определяется по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{||\vec{v_1}|| \cdot ||\vec{v_2}||}$
где $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$ - скалярное произведение векторов, а $||\vec{v}|| = \sqrt{l^2 + m^2 + n^2}$ - модуль (длина) вектора.

a)

Направляющий вектор прямой (a) $L_a: \frac{x+2}{-4} = \frac{y-1}{2\sqrt{2}} = \frac{z}{-2\sqrt{2}}$ равен $\vec{v_a} = (-4, 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.
Направляющий вектор оси абсцисс (Ox) равен $\vec{e_x} = (1, 0, 0)$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{v_a} \cdot \vec{e_x}$: $\vec{v_a} \cdot \vec{e_x} = (-4)(1) + (2\sqrt{2})(0) + (-2\sqrt{2})(0) = -4$.
Вычислим модули векторов: $||\vec{v_a}|| = \sqrt{(-4)^2 + (2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + (4 \cdot 2) + (4 \cdot 2)} = \sqrt{16 + 8 + 8} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$||\vec{e_x}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь найдем косинус угла $\theta_a$ между прямой $L_a$ и осью Ox: $\cos \theta_a = \frac{|-4|}{(4\sqrt{2})(1)} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\theta_a = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.

Ответ: $45^\circ$

б)

Направляющий вектор прямой (б) $L_b: \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{y+1}{4\sqrt{3}} = \frac{z}{2\sqrt{2}}$ равен $\vec{v_b} = (2\sqrt{2}, 4\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$.
Направляющий вектор оси ординат (Oy) равен $\vec{e_y} = (0, 1, 0)$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{v_b} \cdot \vec{e_y}$: $\vec{v_b} \cdot \vec{e_y} = (2\sqrt{2})(0) + (4\sqrt{3})(1) + (2\sqrt{2})(0) = 4\sqrt{3}$.
Вычислим модули векторов: $||\vec{v_b}|| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(4 \cdot 2) + (16 \cdot 3) + (4 \cdot 2)} = \sqrt{8 + 48 + 8} = \sqrt{64} = 8$.
$||\vec{e_y}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Теперь найдем косинус угла $\theta_b$ между прямой $L_b$ и осью Oy: $\cos \theta_b = \frac{|4\sqrt{3}|}{(8)(1)} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, угол $\theta_b = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $30^\circ$