Номер 224, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

224. Найдите наибольший угол треугольника, вершинами которого являются точки $A(1; 2; 2)$, $B(1; 4; -1)$ и $C(-1; 2; 5)$.

Дано:

Вершины треугольника: $A(1; 2; 2)$, $B(1; 4; -1)$, $C(-1; 2; 5)$.

Найти:

Наибольший угол треугольника.

Решение:

Для нахождения наибольшего угла треугольника определим длины всех его сторон. Наибольший угол лежит напротив самой длинной стороны.

Сначала найдем векторы, образующие стороны треугольника:

Вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - 1; 4 - 2; -1 - 2) = (0; 2; -3)$

Вектор $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-1 - 1; 2 - 4; 5 - (-1)) = (-2; -2; 6)$

Вектор $\vec{AC}$ (или $\vec{CA}$ для определения угла при вершине A):

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (-1 - 1; 2 - 2; 5 - 2) = (-2; 0; 3)$

Теперь вычислим длины этих векторов (длины сторон треугольника):

Длина стороны $AB$ ($|\vec{AB}|$):

$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13}$

Длина стороны $BC$ ($|\vec{BC}|$):

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44}$

Длина стороны $AC$ ($|\vec{AC}|$):

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13}$

Сравним длины сторон: $\sqrt{13}$, $\sqrt{44}$, $\sqrt{13}$.

Наибольшей длиной является $\sqrt{44}$, что соответствует стороне $BC$. Следовательно, наибольший угол треугольника будет углом, лежащим напротив стороны $BC$, то есть угол $A$.

Для нахождения угла $A$ воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Угол $A$ образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0) \cdot (-2) + (2) \cdot (0) + (-3) \cdot (3) = 0 + 0 - 9 = -9$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла $A$:

$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{-9}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-9}{13}$

Значение угла $A$ можно найти как арккосинус этого значения:

$A = \arccos\left(-\frac{9}{13}\right)$

Поскольку значение косинуса отрицательно, угол $A$ является тупым, что подтверждает его статус наибольшего угла в треугольнике.

Ответ:

Наибольший угол треугольника равен $\arccos\left(-\frac{9}{13}\right)$.