Номер 228, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

228. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны координаты вершин $B(1; 2; 3)$, $A(9; 6; 4)$, $C(5; 2; 6)$, $B_1(3; 0; 4)$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми $BB_1$ и $CD$.

Дано:

Координаты вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

$B(1; 2; 3)$

$A(9; 6; 4)$

$C(5; 2; 6)$

$B_1(3; 0; 4)$

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными координатами.

Найти:

Угол между прямыми $BB_1$ и $CD$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Для нахождения угла между двумя прямыми, необходимо найти их направляющие векторы. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами или $180^\circ$ минус этот угол. Обычно берут острый угол.

1.

Найдем направляющий вектор прямой $BB_1$. Это вектор $\vec{BB_1}$.

$\vec{BB_1} = (B_{1x} - B_x; B_{1y} - B_y; B_{1z} - B_z)$

$\vec{BB_1} = (3 - 1; 0 - 2; 4 - 3) = (2; -2; 1)$

Обозначим этот вектор как $\vec{u} = (2; -2; 1)$.

Найдем его длину (модуль):

$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

2.

Найдем направляющий вектор прямой $CD$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - параллелепипед, то грань $ABCD$ является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны, то есть $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Найдем вектор $\vec{BA}$:

$\vec{BA} = (A_x - B_x; A_y - B_y; A_z - B_z)$

$\vec{BA} = (9 - 1; 6 - 2; 4 - 3) = (8; 4; 1)$

Обозначим этот вектор как $\vec{v} = (8; 4; 1)$.

Найдем его длину (модуль):

$|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9$

3.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти по формуле косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ (используем модуль скалярного произведения, чтобы получить острый угол)

Сначала найдем скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(8) + (-2)(4) + (1)(1) = 16 - 8 + 1 = 9$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{|9|}{(3)(9)} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

4.

Найдем сам угол $\theta$:

$\theta = \arccos \left( \frac{1}{3} \right)$

Вычислим значение угла:

$\theta \approx 70.5287^\circ$

5.

Округлим результат до $1^\circ$:

$\theta \approx 71^\circ$

Ответ: $71^\circ$