Номер 235, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

235. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $O$ – точка пересечения его диагоналей, $M \in DC$ и $CM : MD = 1 : 4$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми $OM$ и $AM$.

Дано

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(O\) — точка пересечения его диагоналей. Точка \(M\) лежит на ребре \(DC\). Соотношение длин отрезков \(CM : MD = 1 : 4\). Пусть длина ребра куба равна \(a\).

Найти:

Угол между прямыми \(OM\) и \(AM\) с точностью до \(1^\circ\).

Решение

Введем систему координат с началом в точке \(A\). Оси координат направим вдоль ребер \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\).

Координаты вершин куба:

• \(A = (0, 0, 0)\)

• \(B = (a, 0, 0)\)

• \(C = (a, a, 0)\)

• \(D = (0, a, 0)\)

• \(A_1 = (0, 0, a)\)

• \(B_1 = (a, 0, a)\)

• \(C_1 = (a, a, a)\)

• \(D_1 = (0, a, a)\)

Точка \(O\) — центр куба, является точкой пересечения его диагоналей. Ее координаты:

\(O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\)

Точка \(M\) лежит на ребре \(DC\). Из условия \(CM : MD = 1 : 4\), следует, что \(M\) делит отрезок \(DC\) в отношении \(1:4\), считая от \(C\). Ребро \(DC\) находится в плоскости \(z=0\) и имеет координаты \(D(0, a, 0)\) и \(C(a, a, 0)\). Длина отрезка \(DC\) равна \(a\). Тогда \(CM = \frac{1}{5}a\) и \(MD = \frac{4}{5}a\). Поскольку точка \(M\) ближе к \(C\), ее \(x\)-координата будет \(a - \frac{1}{5}a = \frac{4a}{5}\).

Координаты точки \(M\):

\(M = \left(\frac{4a}{5}, a, 0\right)\)

Теперь найдем координаты векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{OM}\):

\(\vec{AM} = M - A = \left(\frac{4a}{5} - 0, a - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{4a}{5}, a, 0\right)\)

\(\vec{OM} = M - O = \left(\frac{4a}{5} - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}\right)\)

\(\vec{OM} = \left(\frac{8a - 5a}{10}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{10}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right)\)

Для нахождения угла \(\theta\) между векторами \(\vec{AM}\) и \(\vec{OM}\) воспользуемся формулой скалярного произведения:

\(\cos \theta = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{OM}}{|\vec{AM}| |\vec{OM}|}\)

Вычислим скалярное произведение \(\vec{AM} \cdot \vec{OM}\):

\(\vec{AM} \cdot \vec{OM} = \left(\frac{4a}{5}\right)\left(\frac{3a}{10}\right) + (a)\left(\frac{a}{2}\right) + (0)\left(-\frac{a}{2}\right)\)

\(= \frac{12a^2}{50} + \frac{a^2}{2} + 0\)

\(= \frac{6a^2}{25} + \frac{25a^2}{50}\)

\(= \frac{12a^2}{50} + \frac{25a^2}{50} = \frac{37a^2}{50}\)

Вычислим длины векторов \(|\vec{AM}|\) и \(|\vec{OM}|\):

\(|\vec{AM}| = \sqrt{\left(\frac{4a}{5}\right)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{16a^2}{25} + a^2} = \sqrt{\frac{16a^2 + 25a^2}{25}} = \sqrt{\frac{41a^2}{25}} = \frac{a\sqrt{41}}{5}\)

\(|\vec{OM}| = \sqrt{\left(\frac{3a}{10}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2}\)

\(= \sqrt{\frac{9a^2}{100} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{100} + \frac{25a^2}{100} + \frac{25a^2}{100}}\)

\(= \sqrt{\frac{(9 + 25 + 25)a^2}{100}} = \sqrt{\frac{59a^2}{100}} = \frac{a\sqrt{59}}{10}\)

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos \theta = \frac{\frac{37a^2}{50}}{\left(\frac{a\sqrt{41}}{5}\right)\left(\frac{a\sqrt{59}}{10}\right)}\)

\(\cos \theta = \frac{\frac{37a^2}{50}}{\frac{a^2\sqrt{41 \cdot 59}}{50}}\)

\(\cos \theta = \frac{37}{\sqrt{41 \cdot 59}}\)

Вычислим произведение под корнем:

\(41 \cdot 59 = 2419\)

Тогда:

\(\cos \theta = \frac{37}{\sqrt{2419}}\)

Найдем приближенное значение \(\cos \theta\):

\(\sqrt{2419} \approx 49.183327\)

\(\cos \theta \approx \frac{37}{49.183327} \approx 0.752300\)

Вычислим угол \(\theta\):

\(\theta = \arccos(0.752300) \approx 41.201^\circ\)

Округлим результат до \(1^\circ\).

\(\theta \approx 41^\circ\)

Ответ:

Угол между прямыми \(OM\) и \(AM\) составляет примерно \(41^\circ\).