Номер 238, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

238. В правильном тетраэдре $DABC$ точка $K$ – середина ребра $AD$, точки $M$ и $N$ – центры граней $ABC$ и $BCD$ соответственно. Найдите угол между прямыми:

а) $MN$ и $AB$;

б) $MK$ и $AC$.

Дано:

Дан правильный тетраэдр $DABC$.

Точка $K$ — середина ребра $AD$.

Точка $M$ — центр грани $ABC$.

Точка $N$ — центр грани $BCD$.

Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.

Найти:

а) Угол между прямыми $MN$ и $AB$.

б) Угол между прямыми $MK$ и $AC$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат.

Расположим вершину $A$ в начале координат: $A = (0, 0, 0)$.

Вершину $B$ расположим на оси $Ox$: $B = (a, 0, 0)$.

Вершину $C$ расположим в плоскости $Oxy$. Так как $\triangle ABC$ является правильным (равносторонним) со стороной $a$, координаты $C$ будут: $C = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Для нахождения координат вершины $D = (x_D, y_D, z_D)$ воспользуемся тем, что она равноудалена от вершин $A, B, C$ на расстояние $a$. Также известно, что в правильном тетраэдре вершина $D$ проецируется в центр основания $ABC$. Центр $M$ грани $ABC$ имеет координаты: $M = ((0+a+a/2)/3, (0+0+a\sqrt{3}/2)/3, (0+0+0)/3) = (a/2, a\sqrt{3}/6, 0)$.

Таким образом, $x_D = a/2$, $y_D = a\sqrt{3}/6$.

Найдем $z_D$ из условия $DA^2 = a^2$: $x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 = a^2$.

$(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/6)^2 + z_D^2 = a^2$

$a^2/4 + 3a^2/36 + z_D^2 = a^2$

$a^2/4 + a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$3a^2/12 + a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$4a^2/12 + z_D^2 = a^2$

$a^2/3 + z_D^2 = a^2$

$z_D^2 = a^2 - a^2/3 = 2a^2/3$

$z_D = a\sqrt{2/3} = a\sqrt{6}/3$ (берем положительное значение, так как тетраэдр расположен "вверх").

Итак, координаты вершин: $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $D=(a/2, a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/3)$.

Найдем координаты точек $K, M, N$:

• Координаты $K$: $K$ — середина ребра $AD$.

  $K = ((0+a/2)/2, (0+a\sqrt{3}/6)/2, (0+a\sqrt{6}/3)/2) = (a/4, a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$.

• Координаты $M$: $M$ — центр грани $ABC$. Это центр тяжести (центроид) треугольника $ABC$.

  $M = ((0+a+a/2)/3, (0+0+a\sqrt{3}/2)/3, (0+0+0)/3) = (a/2, a\sqrt{3}/6, 0)$.

• Координаты $N$: $N$ — центр грани $BCD$. Это центроид треугольника $BCD$.

  $N_x = (a+a/2+a/2)/3 = (2a)/3$

  $N_y = (0+a\sqrt{3}/2+a\sqrt{3}/6)/3 = (3a\sqrt{3}/6 + a\sqrt{3}/6)/3 = (4a\sqrt{3}/6)/3 = (2a\sqrt{3}/3)/3 = 2a\sqrt{3}/9$

  $N_z = (0+0+a\sqrt{6}/3)/3 = a\sqrt{6}/9$

  $N = (2a/3, 2a\sqrt{3}/9, a\sqrt{6}/9)$.

Для нахождения угла $\theta$ между прямыми, заданными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, используется формула $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Мы будем использовать скалярное произведение векторов, а затем, если косинус будет отрицательным, возьмем его абсолютное значение, чтобы получить острый угол между прямыми.

а) MN и AB

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{AB} = B - A = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{MN} = N - M = (2a/3 - a/2, 2a\sqrt{3}/9 - a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/9 - 0)$

$\vec{MN} = (4a/6 - 3a/6, 4a\sqrt{3}/18 - 3a\sqrt{3}/18, a\sqrt{6}/9)$

$\vec{MN} = (a/6, a\sqrt{3}/18, a\sqrt{6}/9)$.

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{MN}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{MN} = (a)(a/6) + (0)(a\sqrt{3}/18) + (0)(a\sqrt{6}/9) = a^2/6$.

Длины векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$.

$|\vec{MN}| = \sqrt{(a/6)^2 + (a\sqrt{3}/18)^2 + (a\sqrt{6}/9)^2}$

$|\vec{MN}| = \sqrt{a^2/36 + 3a^2/324 + 6a^2/81}$

$|\vec{MN}| = \sqrt{a^2/36 + a^2/108 + 2a^2/27}$

Приведем дроби к общему знаменателю 108:

$|\vec{MN}| = \sqrt{3a^2/108 + a^2/108 + 8a^2/108} = \sqrt{(3a^2 + a^2 + 8a^2)/108} = \sqrt{12a^2/108} = \sqrt{a^2/9} = a/3$.

Косинус угла $\theta$ между прямыми $MN$ и $AB$:

$\cos\theta = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{MN}|}{|\vec{AB}| |\vec{MN}|} = \frac{|a^2/6|}{a \cdot (a/3)} = \frac{a^2/6}{a^2/3} = \frac{1/6}{1/3} = 1/2$.

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) MK и AC

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{MK}$.

$\vec{AC} = C - A = (a/2 - 0, a\sqrt{3}/2 - 0, 0-0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{MK} = K - M = (a/4 - a/2, a\sqrt{3}/12 - a\sqrt{3}/6, a\sqrt{6}/6 - 0)$

$\vec{MK} = (a/4 - 2a/4, a\sqrt{3}/12 - 2a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$

$\vec{MK} = (-a/4, -a\sqrt{3}/12, a\sqrt{6}/6)$.

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{MK}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{MK} = (a/2)(-a/4) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/12) + (0)(a\sqrt{6}/6)$

$\vec{AC} \cdot \vec{MK} = -a^2/8 - 3a^2/24 = -a^2/8 - a^2/8 = -2a^2/8 = -a^2/4$.

Длины векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{a^2} = a$.

$|\vec{MK}| = \sqrt{(-a/4)^2 + (-a\sqrt{3}/12)^2 + (a\sqrt{6}/6)^2}$

$|\vec{MK}| = \sqrt{a^2/16 + 3a^2/144 + 6a^2/36}$

Приведем дроби к общему знаменателю 144 (или 48):

$|\vec{MK}| = \sqrt{9a^2/144 + 3a^2/144 + 24a^2/144} = \sqrt{(9a^2 + 3a^2 + 24a^2)/144} = \sqrt{36a^2/144} = \sqrt{a^2/4} = a/2$.

Косинус угла $\phi$ между прямыми $MK$ и $AC$:

$\cos\phi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{MK}|}{|\vec{AC}| |\vec{MK}|} = \frac{|-a^2/4|}{a \cdot (a/2)} = \frac{a^2/4}{a^2/2} = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$.

$\phi = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.