Номер 243, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

243. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(-2; 4; -3)$ и $B(0; 3; -5)$, и плоскостью:

а) $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$;

б) $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$.

Дано:

Точки прямой: $A(-2; 4; -3)$, $B(0; 3; -5)$

Уравнение плоскости а): $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$

Уравнение плоскости б): $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются координатами точек и коэффициентами уравнений плоскостей в декартовой системе координат.

Найти:

Угол между прямой $AB$ и плоскостью а), а также между прямой $AB$ и плоскостью б).

Решение:

Для нахождения угла $\phi$ между прямой и плоскостью используется формула:

$ \sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|} $

где $\vec{l}$ - направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ - вектор нормали к плоскости.

Сначала найдем направляющий вектор прямой $AB$.

Вектор $\vec{l}$ можно найти как $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

$ \vec{l} = (0 - (-2); 3 - 4; -5 - (-3)) = (2; -1; -2) $

Найдем его модуль:

$ |\vec{l}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $

а)

Уравнение плоскости: $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} + \frac{z}{6} + 1 = 0$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n_a}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$.

$ \vec{n_a} = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}; \frac{1}{6}\right) $

Для удобства можно привести уравнение к целочисленным коэффициентам, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 8, 6), которое равно 24:

$ 12x + 3y + 4z + 24 = 0 $

Тогда вектор нормали $\vec{n_a} = (12; 3; 4)$.

Найдем его модуль:

$ |\vec{n_a}| = \sqrt{12^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13 $

Найдем скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости:

$ \vec{l} \cdot \vec{n_a} = (2)(12) + (-1)(3) + (-2)(4) = 24 - 3 - 8 = 13 $

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$ \sin \phi_a = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n_a}|}{|\vec{l}| |\vec{n_a}|} = \frac{|13|}{3 \cdot 13} = \frac{13}{39} = \frac{1}{3} $

Отсюда угол $\phi_a$:

$ \phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $

Ответ: $ \phi_a = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $

б)

Уравнение плоскости: $\frac{3x}{14} + \frac{3y}{7} - \frac{3z}{7} + 1 = 0$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n_b}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x$, $y$, $z$.

$ \vec{n_b} = \left(\frac{3}{14}; \frac{3}{7}; -\frac{3}{7}\right) $

Для удобства можно привести уравнение к целочисленным коэффициентам, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей (14, 7, 7), которое равно 14:

$ 3x + 6y - 6z + 14 = 0 $

Тогда вектор нормали $\vec{n_b} = (3; 6; -6)$.

Найдем его модуль:

$ |\vec{n_b}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9 $

Найдем скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости:

$ \vec{l} \cdot \vec{n_b} = (2)(3) + (-1)(6) + (-2)(-6) = 6 - 6 + 12 = 12 $

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла:

$ \sin \phi_b = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n_b}|}{|\vec{l}| |\vec{n_b}|} = \frac{|12|}{3 \cdot 9} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} $

Отсюда угол $\phi_b$:

$ \phi_b = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right) $

Ответ: $ \phi_b = \arcsin\left(\frac{4}{9}\right) $