Номер 240, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

240. Найдите угол, образованный прямой, на которой лежит вектор $ \vec{c}(-3; 0; 4) $, с плоскостью:

а) $4x + 6y + 3z = 0$;

б) $3x - 4z + 2 = 0$.

Дано:

Вектор, определяющий направление прямой: $\vec{c} = (-3; 0; 4)$.

Уравнение первой плоскости: $P_a: 4x + 6y + 3z = 0$.

Уравнение второй плоскости: $P_b: 3x - 4z + 2 = 0$.

Перевод данных в систему СИ: Данные величины являются безразмерными координатами и коэффициентами уравнений, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямой и плоскостью a) ($\theta_a$).

Угол между прямой и плоскостью б) ($\theta_b$).

Решение

Угол $\theta$ между прямой, на которой лежит вектор $\vec{l}$, и плоскостью, нормальный вектор которой $\vec{n}$, определяется формулой:

$\sin \theta = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

В нашем случае, вектор прямой $\vec{l} = \vec{c} = (-3; 0; 4)$.

Его длина:

$||\vec{c}|| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

a) $4x + 6y + 3z = 0$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n_a} = (4; 6; 3)$.

Его длина:

$||\vec{n_a}|| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61}$

Скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{n_a}$:

$\vec{c} \cdot \vec{n_a} = (-3)(4) + (0)(6) + (4)(3) = -12 + 0 + 12 = 0$

Теперь найдем синус угла $\theta_a$:

$\sin \theta_a = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{n_a}|}{||\vec{c}|| \cdot ||\vec{n_a}||} = \frac{|0|}{5 \cdot \sqrt{61}} = 0$

Следовательно, $\theta_a = \arcsin(0) = 0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

б) $3x - 4z + 2 = 0$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n_b} = (3; 0; -4)$.

Его длина:

$||\vec{n_b}|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{n_b}$:

$\vec{c} \cdot \vec{n_b} = (-3)(3) + (0)(0) + (4)(-4) = -9 + 0 - 16 = -25$

Теперь найдем синус угла $\theta_b$:

$\sin \theta_b = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{n_b}|}{||\vec{c}|| \cdot ||\vec{n_b}||} = \frac{|-25|}{5 \cdot 5} = \frac{25}{25} = 1$

Следовательно, $\theta_b = \arcsin(1) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$