Номер 234, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

234. Основание прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ – прямоугольный треугольник с катетами $AC = 5$ и $BC = 12$, а ее боковое ребро равно 12. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Прямая призма $ABCA_1B_1C_1$.
Основание $ABC$ - прямоугольный треугольник.
Катеты основания: $AC = 5$, $BC = 12$.
Боковое ребро (высота призмы): $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 12$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в условных единицах длины, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в точке $C(0,0,0)$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с катетами $AC$ и $BC$, лежащими на осях координат, координаты вершин основания будут:

$C = (0,0,0)$
$A = (5,0,0)$ (так как $AC=5$, и лежит вдоль оси X)
$B = (0,12,0)$ (так как $BC=12$, и лежит вдоль оси Y)

Поскольку призма прямая, боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, а их длина равна 12. Координаты вершин верхнего основания:

$C_1 = (0,0,12)$
$B_1 = (0,12,12)$

Найдем векторы, направляющие прямые $AB$ и $CB_1$.

Вектор $\vec{AB}$: $\vec{AB} = B - A = (0-5, 12-0, 0-0) = (-5, 12, 0)$.

Вектор $\vec{CB_1}$: $\vec{CB_1} = B_1 - C = (0-0, 12-0, 12-0) = (0, 12, 12)$.

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CB_1}$: $\vec{AB} \cdot \vec{CB_1} = (-5)(0) + (12)(12) + (0)(12) = 0 + 144 + 0 = 144$.

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13$. $|\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 144 + 144} = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{144}{13 \cdot 12\sqrt{2}} = \frac{12}{13\sqrt{2}}$.

Рационализируем знаменатель: $\cos \theta = \frac{12\sqrt{2}}{13\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{6\sqrt{2}}{13}$.

Следовательно, искомый угол равен: $\theta = \arccos\left(\frac{6\sqrt{2}}{13}\right)$.

Ответ:

Угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ равен $\arccos\left(\frac{6\sqrt{2}}{13}\right)$.