Номер 233, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

233. Основание $ABCD$ пирамиды $PABCD$ – ромб с диагоналями $AC = 16$, $BD = 9$, $O$ – точка пересечения диагоналей, $PO$ – высота пирамиды, $PO = 12$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми $AD$ и $PC$.

Дано:

Основание пирамиды $PABCD$ — ромб $ABCD$.

Диагонали ромба: $AC = 16$, $BD = 9$.

$O$ — точка пересечения диагоналей ромба.

$PO$ — высота пирамиды, $PO = 12$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в безразмерных единицах длины и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Угол между прямыми $AD$ и $PC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD$ и $PC$, перенесем одну из прямых параллельно самой себе так, чтобы она пересекала другую прямую. Поскольку $ABCD$ — ромб, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$. Таким образом, угол между прямыми $AD$ и $PC$ равен углу между прямыми $BC$ и $PC$. Этот угол является углом $\angle PCB$ в треугольнике $PBC$.

1. Найдем длины отрезков, необходимых для вычислений.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам.

Следовательно, $AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

2. Найдем длину стороны ромба $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ (так как диагонали ромба перпендикулярны). По теореме Пифагора:

$BC^2 = BO^2 + OC^2$

$BC^2 = (4.5)^2 + 8^2 = 20.25 + 64 = 84.25$

$BC = \sqrt{84.25}$

3. Найдем длину ребра $PC$.

Поскольку $PO$ — высота пирамиды, $PO \perp OC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $POC$. По теореме Пифагора:

$PC^2 = PO^2 + OC^2$

$PC^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$

$PC = \sqrt{208}$

4. Найдем длину ребра $PB$.

Поскольку $PO$ — высота пирамиды, $PO \perp OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $POB$. По теореме Пифагора:

$PB^2 = PO^2 + OB^2$

$PB^2 = 12^2 + (4.5)^2 = 144 + 20.25 = 164.25$

$PB = \sqrt{164.25}$

5. Применим теорему косинусов для треугольника $PBC$.

Используем теорему косинусов для нахождения угла $\angle PCB$:

$PB^2 = BC^2 + PC^2 - 2 \cdot BC \cdot PC \cdot \cos(\angle PCB)$

Подставим найденные значения:

$164.25 = 84.25 + 208 - 2 \cdot \sqrt{84.25} \cdot \sqrt{208} \cdot \cos(\angle PCB)$

$164.25 = 292.25 - 2 \cdot \sqrt{84.25 \cdot 208} \cdot \cos(\angle PCB)$

$2 \cdot \sqrt{17524} \cdot \cos(\angle PCB) = 292.25 - 164.25$

$2 \cdot \sqrt{17524} \cdot \cos(\angle PCB) = 128$

$\cos(\angle PCB) = \frac{128}{2 \cdot \sqrt{17524}} = \frac{64}{\sqrt{17524}}$

Вычислим значение:

$\cos(\angle PCB) \approx \frac{64}{132.3789} \approx 0.483471$

$\angle PCB = \arccos(0.483471)$

$\angle PCB \approx 61.08^\circ$

Округлим до $1^\circ$.

$\angle PCB \approx 61^\circ$

Ответ:

Угол между прямыми $AD$ и $PC$ равен $61^\circ$.