Номер 226, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

9. Угол между двумя прямыми в пространстве. II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 226, страница 77.

Условие.

226. Основание $ABCD$ пирамиды $PABCD$ – квадрат, сторона которого равна 4, ребро $PB$ равно 6 и является ее высотой. Найдите угол между прямыми $AP$ и $BD$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Пирамида $PABCD$.

Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $AB = BC = CD = DA = 4$.

Ребро $PB = 6$ и является высотой пирамиды ($PB \perp ABCD$).

Найти:

Угол между прямыми $AP$ и $BD$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B$.

Пусть ось $x$ направлена вдоль $BC$, ось $y$ вдоль $BA$, и ось $z$ вдоль $BP$.

Координаты вершин:

$B = (0, 0, 0)$

$A = (0, 4, 0)$ (так как $BA$ лежит на оси $y$ и длина $AB = 4$)

$C = (4, 0, 0)$ (так как $BC$ лежит на оси $x$ и длина $BC = 4$)

$D = (4, 4, 0)$ (так как $ABCD$ — квадрат, $D = C + \vec{BA} = (4,0,0) + (0,4,0) = (4,4,0)$)

$P = (0, 0, 6)$ (так как $PB$ лежит на оси $z$ и длина $PB = 6$)

Найдем векторы, задающие прямые $AP$ и $BD$.

Вектор $\vec{AP}$ определяется как разность координат точки $P$ и точки $A$:

$\vec{AP} = P - A = (0 - 0, 0 - 4, 6 - 0) = (0, -4, 6)$.

Вектор $\vec{BD}$ определяется как разность координат точки $D$ и точки $B$:

$\vec{BD} = D - B = (4 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (4, 4, 0)$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми (или векторами) находится по формуле косинуса угла, используя скалярное произведение и длины векторов:

$cos(\alpha) = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AP}| |\vec{BD}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AP}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AP} \cdot \vec{BD} = (0)(4) + (-4)(4) + (6)(0) = 0 - 16 + 0 = -16$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AP}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32}$.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла. Поскольку угол между прямыми обычно берется как острый (или прямой), мы берем абсолютное значение скалярного произведения:

$cos(\alpha) = \frac{|-16|}{\sqrt{52} \cdot \sqrt{32}} = \frac{16}{\sqrt{52 \cdot 32}}$.

Упростим выражение в знаменателе:

$\sqrt{52 \cdot 32} = \sqrt{(4 \cdot 13) \cdot (16 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 16 \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{64 \cdot 26} = 8\sqrt{26}$.

Таким образом:

$cos(\alpha) = \frac{16}{8\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:

$cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{13}$.

Отсюда угол $\alpha$ равен:

$\alpha = arccos\left(\frac{\sqrt{26}}{13}\right)$.

Ответ:

Угол между прямыми $AP$ и $BD$ равен $arccos\left(\frac{\sqrt{26}}{13}\right)$.