Номер 223, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

223. Дан треугольник, вершинами которого являются точки $A(3; 2; -3)$, $B(5; 1; -1)$ и $C(1; -2; 1)$. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямыми, на которых лежат сторона $AC$ и биссектриса $AL$ этого треугольника.

Дано:

Координаты вершин треугольника: $A(3; 2; -3)$, $B(5; 1; -1)$, $C(1; -2; 1)$.

Найти:

Угол между прямой $AC$ и биссектрисой $AL$ этого треугольника (с точностью до $1^\circ$).

Решение:

Для нахождения угла между двумя прямыми, нам нужно найти направляющие векторы этих прямых и использовать формулу для косинуса угла между векторами.

1. Найдем направляющий вектор для прямой $AC$. Это будет вектор $\vec{AC}$.

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - 3; -2 - 2; 1 - (-3)) = (-2; -4; 4)$.

2. Найдем длины сторон $AB$ и $AC$, которые прилежат к вершине $A$, из которой проведена биссектриса $AL$.

Длина стороны $AB$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(5 - 3)^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Длина стороны $AC$:
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

3. Биссектриса $AL$ делит сторону $BC$ в отношении, равном отношению длин прилежащих сторон $AB$ и $AC$. Точка $L$ лежит на отрезке $BC$.
$\frac{BL}{LC} = \frac{|\vec{AB}|}{|\vec{AC}|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

4. Найдем координаты точки $L$, используя формулу деления отрезка в заданном отношении. Точка $L$ делит отрезок $BC$ в отношении $1:2$ (считая от $B$ к $C$).

$L\left(\frac{1 \cdot x_C + 2 \cdot x_B}{1 + 2}; \frac{1 \cdot y_C + 2 \cdot y_B}{1 + 2}; \frac{1 \cdot z_C + 2 \cdot z_B}{1 + 2}\right)$
$x_L = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 5}{3} = \frac{1 + 10}{3} = \frac{11}{3}$
$y_L = \frac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1}{3} = \frac{-2 + 2}{3} = 0$
$z_L = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1)}{3} = \frac{1 - 2}{3} = -\frac{1}{3}$
Таким образом, $L\left(\frac{11}{3}; 0; -\frac{1}{3}\right)$.

5. Найдем направляющий вектор для биссектрисы $AL$. Это будет вектор $\vec{AL}$.

$\vec{AL} = (x_L - x_A; y_L - y_A; z_L - z_A)$
$\vec{AL} = \left(\frac{11}{3} - 3; 0 - 2; -\frac{1}{3} - (-3)\right) = \left(\frac{11 - 9}{3}; -2; -\frac{1}{3} + \frac{9}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}; -2; \frac{8}{3}\right)$.

6. Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AL}$ по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AL}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AL}|}$

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{AL}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{AL} = (-2) \cdot \frac{2}{3} + (-4) \cdot (-2) + 4 \cdot \frac{8}{3}$
$= -\frac{4}{3} + 8 + \frac{32}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{24}{3} + \frac{32}{3} = \frac{-4 + 24 + 32}{3} = \frac{52}{3}$.

Модуль вектора $\vec{AL}$:
$|\vec{AL}| = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + (-2)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + 4 + \frac{64}{9}}$
$= \sqrt{\frac{4 + 36 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{104}{9}} = \frac{\sqrt{104}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 26}}{3} = \frac{2\sqrt{26}}{3}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \alpha$:
$\cos \alpha = \frac{\frac{52}{3}}{6 \cdot \frac{2\sqrt{26}}{3}} = \frac{\frac{52}{3}}{\frac{12\sqrt{26}}{3}} = \frac{52}{12\sqrt{26}}$.

Упростим выражение:
$\cos \alpha = \frac{13}{3\sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{3 \cdot 26} = \frac{13\sqrt{26}}{78} = \frac{\sqrt{26}}{6}$.

Вычислим значение $\cos \alpha$ и найдем угол $\alpha$:
$\sqrt{26} \approx 5.0990195$
$\cos \alpha \approx \frac{5.0990195}{6} \approx 0.8498365$
$\alpha = \arccos(0.8498365) \approx 31.80016^\circ$.

Округлим до $1^\circ$:
$\alpha \approx 32^\circ$.

Ответ: $32^\circ$