Номер 217, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

8. Расстояние от точки до плоскости. II. Применение уравнений прямой и плоскости - номер 217, страница 74.

Условие.

217. Расстояние от начала координат до центра окружности, описанной около $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(t; 0; 0)$, $B(0; 0; t)$, $C(t; t; t)$, равно

$\frac{\sqrt{6}}{2}$. Найдите расстояние от начала координат до плоскости $ABC$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Вершины треугольника $ABC$: $A(t; 0; 0)$, $B(0; 0; t)$, $C(t; t; t)$.

Расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до центра окружности, описанной около $\triangle ABC$, равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Найти:

Расстояние от начала координат до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Найдем уравнение плоскости $ABC$.
Для этого нам нужны два вектора, лежащих в плоскости, и одна точка. Возьмем точку $A(t; 0; 0)$.
Векторы: $\vec{AB} = B - A = (0 - t; 0 - 0; t - 0) = (-t; 0; t)$.
$\vec{AC} = C - A = (t - t; t - 0; t - 0) = (0; t; t)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ABC$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -t & 0 & t \\ 0 & t & t \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot t - t \cdot t) - \mathbf{j}(-t \cdot t - t \cdot 0) + \mathbf{k}(-t \cdot t - 0 \cdot 0)$
$\vec{n} = (-t^2; t^2; -t^2)$.
Предполагая $t \neq 0$, мы можем упростить нормальный вектор, разделив его на $-t^2$: $\vec{n'} = (1; -1; 1)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (1; -1; 1)$, получаем $x - y + z + D = 0$.
Подставим координаты точки $A(t; 0; 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:
$1(t) - 1(0) + 1(0) + D = 0$
$t + D = 0 \implies D = -t$.
Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $x - y + z - t = 0$.

2. Найдем координаты центра окружности, описанной около $\triangle ABC$.
Пусть $P(x_p; y_p; z_p)$ - центр описанной окружности. Он обладает двумя свойствами:
a) Он равноудален от вершин $A, B, C$, то есть $PA = PB = PC$.
b) Он лежит в плоскости $\triangle ABC$.
Используем свойство (a):
$PA^2 = (x_p - t)^2 + y_p^2 + z_p^2$
$PB^2 = x_p^2 + y_p^2 + (z_p - t)^2$
$PC^2 = (x_p - t)^2 + (y_p - t)^2 + (z_p - t)^2$
Приравниваем $PA^2 = PB^2$:
$(x_p - t)^2 + y_p^2 + z_p^2 = x_p^2 + y_p^2 + (z_p - t)^2$
$x_p^2 - 2tx_p + t^2 + y_p^2 + z_p^2 = x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2tz_p + t^2$
$-2tx_p = -2tz_p$
$x_p = z_p$ (при $t \neq 0$).
Приравниваем $PB^2 = PC^2$:
$x_p^2 + y_p^2 + (z_p - t)^2 = (x_p - t)^2 + (y_p - t)^2 + (z_p - t)^2$
$x_p^2 + y_p^2 = (x_p - t)^2 + (y_p - t)^2$
$x_p^2 + y_p^2 = x_p^2 - 2tx_p + t^2 + y_p^2 - 2ty_p + t^2$
$0 = -2tx_p - 2ty_p + 2t^2$
$tx_p + ty_p = t^2$
$x_p + y_p = t$ (при $t \neq 0$).
Теперь используем свойство (b): центр $P(x_p; y_p; z_p)$ лежит в плоскости $ABC$, то есть его координаты удовлетворяют уравнению плоскости $x - y + z - t = 0$.
$x_p - y_p + z_p = t$.
Мы имеем систему уравнений для $x_p, y_p, z_p$:
1) $x_p = z_p$
2) $x_p + y_p = t$
3) $x_p - y_p + z_p = t$
Подставим (1) в (3):
$x_p - y_p + x_p = t \implies 2x_p - y_p = t$ (уравнение 4).
Теперь решим систему из (2) и (4):
$x_p + y_p = t$
$2x_p - y_p = t$
Сложим эти два уравнения:
$(x_p + y_p) + (2x_p - y_p) = t + t$
$3x_p = 2t \implies x_p = \frac{2t}{3}$.
Найдем $y_p$ из $x_p + y_p = t$:
$\frac{2t}{3} + y_p = t \implies y_p = t - \frac{2t}{3} = \frac{t}{3}$.
Используя $x_p = z_p$:
$z_p = \frac{2t}{3}$.
Итак, координаты центра окружности $P\left(\frac{2t}{3}; \frac{t}{3}; \frac{2t}{3}\right)$.

3. Используем данное расстояние от начала координат до центра окружности для нахождения $t$.
Расстояние $OP$ от начала координат $O(0; 0; 0)$ до $P\left(\frac{2t}{3}; \frac{t}{3}; \frac{2t}{3}\right)$ равно $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
$OP^2 = \left(\frac{2t}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{t}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2t}{3} - 0\right)^2$
$OP^2 = \frac{4t^2}{9} + \frac{t^2}{9} + \frac{4t^2}{9} = \frac{9t^2}{9} = t^2$.
Значит, $OP = \sqrt{t^2} = |t|$.
По условию $OP = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Следовательно, $|t| = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

4. Найдем расстояние от начала координат до плоскости $ABC$.
Уравнение плоскости $ABC$: $x - y + z - t = 0$.
Расстояние от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ дается формулой:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Для начала координат $O(0; 0; 0)$, $A=1, B=-1, C=1, D=-t$.
$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 1(0) - t|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|-t|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|t|}{\sqrt{3}}$.
Подставим значение $|t| = \frac{\sqrt{6}}{2}$:
$d = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$.
Упростим выражение:
$d = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$