Номер 210, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

210. Дворец Мира и Согласия в Нур-Султане имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, высота которой и сторона основания равны по 62 м. Найдите расстояние от вершины этой пирамиды до плоскости, проходящей через диагональ ее основания и середину бокового ребра.

211. Дан $\Delta ABC$ с вершинами в точках $A(5; 0; 5)$, $B(5; 5; 0)$, $C(5; 5; 5)$. Найдите

Дворец Мира и Согласия, г. Нур-Султан

210. Дворец Мира и Согласия в Нур-Султане...

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Высота пирамиды: $H = 62$ м

Сторона основания: $a = 62$ м

Плоскость проходит через диагональ основания и середину бокового ребра.

Перевод всех данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от вершины пирамиды до указанной плоскости.

Решение:

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания пирамиды находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ совпадает с высотой пирамиды. Вершина пирамиды $S$ будет иметь координаты $S(0,0,H)$. Подставляя $H=62$ м, получаем $S(0,0,62)$.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a=62$ м. Вершины основания могут быть расположены следующим образом: $A(-a/2, -a/2, 0) = A(-31, -31, 0)$ $B(a/2, -a/2, 0) = B(31, -31, 0)$ $C(a/2, a/2, 0) = C(31, 31, 0)$ $D(-a/2, a/2, 0) = D(-31, 31, 0)$

Плоскость проходит через диагональ основания и середину бокового ребра. Выберем диагональ $AC$. Она соединяет точки $A(-31, -31, 0)$ и $C(31, 31, 0)$. Выберем боковое ребро $SB$. Его концы — $S(0,0,62)$ и $B(31,-31,0)$. Середина $M$ ребра $SB$ имеет координаты: $M\left(\frac{0+31}{2}, \frac{0-31}{2}, \frac{62+0}{2}\right) = M(15.5, -15.5, 31)$.

Таким образом, плоскость определяется тремя точками: $A(-31, -31, 0)$, $C(31, 31, 0)$, и $M(15.5, -15.5, 31)$. Найдем уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, подставив координаты этих точек: 1) $A(-31, -31, 0): -31A - 31B + D = 0$ 2) $C(31, 31, 0): 31A + 31B + D = 0$ 3) $M(15.5, -15.5, 31): 15.5A - 15.5B + 31C + D = 0$

Сложим уравнения (1) и (2): $(-31A - 31B + D) + (31A + 31B + D) = 0$ $2D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Подставим $D=0$ в уравнение (1): $-31A - 31B = 0 \Rightarrow 31(A + B) = 0 \Rightarrow A + B = 0 \Rightarrow B = -A$.

Подставим $D=0$ и $B=-A$ в уравнение (3): $15.5A - 15.5(-A) + 31C = 0$ $15.5A + 15.5A + 31C = 0$ $31A + 31C = 0 \Rightarrow 31(A + C) = 0 \Rightarrow A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.

Таким образом, уравнение плоскости $Ax - Ay - Az = 0$. Разделив на $A$ (поскольку $A \ne 0$, иначе все коэффициенты равны нулю, что невозможно для плоскости), получаем: $x - y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от вершины пирамиды $S(0,0,62)$ до плоскости $x - y - z = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ : $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $S(0,0,62)$ и плоскости $1x - 1y - 1z + 0 = 0$ ($A=1, B=-1, C=-1, D=0$): $d = \frac{|1(0) + (-1)(0) + (-1)(62) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}$ $d = \frac{|-62|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$ $d = \frac{62}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель: $d = \frac{62 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{62\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости составляет $d = \frac{62\sqrt{3}}{3}$ м.

211. Дан $\Delta ABC$ с вершинами в точках $A(5; 0; 5)$, $B(5; 5; 0)$, $C(5; 5; 5)$. Найдите

Вопрос неполный. Отсутствует часть условия "Найдите...". Невозможно предоставить полный ответ без полной формулировки задачи.