Номер 207, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

207. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны ребра $AB = 3, BC = 4, BB_1 = 12$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер: $AB = 3$, $BC = 4$, $BB_1 = 12$.

Перевод в систему СИ:

Длины ребер заданы в условных единицах, которые совместимы между собой. Перевод в систему СИ не требуется, так как конечный ответ также будет в этих условных единицах.

Найти:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$.

Решение:

Расположим прямоугольный параллелепипед в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $D(0,0,0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль ребра $DC$.

Ось $Oy$ направим вдоль ребра $DA$.

Ось $Oz$ направим вдоль ребра $DD_1$.

Тогда координаты вершин будут:

$D = (0, 0, 0)$

$C = (AB, 0, 0) = (3, 0, 0)$

$A = (0, BC, 0) = (0, 4, 0)$

$D_1 = (0, 0, BB_1) = (0, 0, 12)$

$A_1 = (0, BC, BB_1) = (0, 4, 12)$

$C_1 = (AB, 0, BB_1) = (3, 0, 12)$

Найдем уравнение плоскости $A_1C_1D$. Пусть общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$.

Точка $D(0,0,0)$ лежит на плоскости, поэтому $A(0) + B(0) + C(0) + D_{plane} = 0$, откуда $D_{plane} = 0$.

Уравнение плоскости примет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Точка $A_1(0,4,12)$ лежит на плоскости:

$A(0) + B(4) + C(12) = 0 \Rightarrow 4B + 12C = 0 \Rightarrow B = -3C$.

Точка $C_1(3,0,12)$ лежит на плоскости:

$A(3) + B(0) + C(12) = 0 \Rightarrow 3A + 12C = 0 \Rightarrow A = -4C$.

Подставим значения $A = -4C$ и $B = -3C$ в уравнение плоскости:

$(-4C)x + (-3C)y + Cz = 0$.

Предполагая, что $C \neq 0$ (иначе это не плоскость), разделим все члены на $C$:

$-4x - 3y + z = 0$, или $4x + 3y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $D_1(0,0,12)$ до плоскости $4x + 3y - z = 0$.

Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,12)$, и уравнение плоскости $4x + 3y - z = 0$, так что $A=4, B=3, C=-1, D=0$.

$d = \frac{|4(0) + 3(0) + (-1)(12) + 0|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|0 + 0 - 12|}{\sqrt{16 + 9 + 1}}$

$d = \frac{|-12|}{\sqrt{26}}$

$d = \frac{12}{\sqrt{26}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:

$d = \frac{12\sqrt{26}}{26} = \frac{6\sqrt{26}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$ равно $\frac{6\sqrt{26}}{13}$.