Номер 205, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

205. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 6. Точки $M, N$ и $K$ – середины его ребер $A_1B_1$, $A_1D_1$ и $A_1A$ соответственно. Найдите расстояния от вершины куба до плоскости $MNK$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро $a = 6$.

Точки $M, N, K$ — середины ребер $A_1B_1, A_1D_1, A_1A$ соответственно.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными величинами.

Найти:

Расстояния от всех вершин куба до плоскости $MNK$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A_1$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $A_1B_1$ направлено вдоль оси $Ox$, ребро $A_1D_1$ вдоль оси $Oy$, и ребро $A_1A$ вдоль оси $Oz$.

Длина ребра куба $a = 6$.

Координаты вершин куба:

• $A_1 = (0,0,0)$
• $B_1 = (6,0,0)$
• $D_1 = (0,6,0)$
• $A = (0,0,6)$
• $C_1 = (6,6,0)$
• $B = (6,0,6)$
• $D = (0,6,6)$
• $C = (6,6,6)$

Точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих ребер:

• $M$ — середина $A_1B_1$: $M = (\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3,0,0)$
• $N$ — середина $A_1D_1$: $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0,3,0)$
• $K$ — середина $A_1A$: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}) = (0,0,3)$

Найдем уравнение плоскости $MNK$. Так как плоскость пересекает оси координат в точках $(3,0,0)$, $(0,3,0)$ и $(0,0,3)$, ее уравнение в отрезках может быть записано как:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Умножим на 3, чтобы получить общее уравнение плоскости:

$x + y + z = 3$

Или $x + y + z - 3 = 0$.

Общий вид уравнения плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$. В нашем случае $A=1, B=1, C=1, D=-3$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $x + y + z - 3 = 0$ и любой вершины $(x_v, y_v, z_v)$ куба, формула расстояния будет:

$d = \frac{|x_v + y_v + z_v - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|x_v + y_v + z_v - 3|}{\sqrt{3}}$

Вычислим расстояния для каждой вершины куба:

• Расстояние от $A_1=(0,0,0)$: $d_{A_1} = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $B_1=(6,0,0)$: $d_{B_1} = \frac{|6+0+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $D_1=(0,6,0)$: $d_{D_1} = \frac{|0+6+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $A=(0,0,6)$: $d_{A} = \frac{|0+0+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $C_1=(6,6,0)$: $d_{C_1} = \frac{|6+6+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $B=(6,0,6)$: $d_{B} = \frac{|6+0+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $D=(0,6,6)$: $d_{D} = \frac{|0+6+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $C=(6,6,6)$: $d_{C} = \frac{|6+6+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ:

Расстояния от вершин куба до плоскости $MNK$ составляют:

• Для вершин $A_1, B_1, D_1, A$: $\sqrt{3}$
• Для вершин $C_1, B, D$: $3\sqrt{3}$
• Для вершины $C$: $5\sqrt{3}$