Номер 212, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

212. Напишите уравнение плоскости, расстояние от которой до параллельной ей плоскости $x + y + z - 1 = 0$ равно $\sqrt{3}$.

Дано:

Уравнение плоскости $\Pi_1: x + y + z - 1 = 0$.

Расстояние $d = \sqrt{3}$.

Искомая плоскость $\Pi_2$ параллельна плоскости $\Pi_1$.

Найти:

Уравнение плоскости $\Pi_2$.

Решение:

Поскольку искомая плоскость $\Pi_2$ параллельна данной плоскости $\Pi_1: x + y + z - 1 = 0$, их нормальные векторы должны быть коллинеарны. Нормальный вектор плоскости $\Pi_1$ равен $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$. Следовательно, уравнение искомой плоскости $\Pi_2$ будет иметь вид $x + y + z + D_2 = 0$, где $D_2$ - некоторая константа.

Расстояние $d$ между двумя параллельными плоскостями $A x + B y + C z + D_1 = 0$ и $A x + B y + C z + D_2 = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае для плоскости $\Pi_1: x + y + z - 1 = 0$ имеем $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D_1=-1$.

Для плоскости $\Pi_2: x + y + z + D_2 = 0$ имеем $A=1$, $B=1$, $C=1$.

Заданное расстояние $d = \sqrt{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$\sqrt{3} = \frac{|-1 - D_2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$

$\sqrt{3} = \frac{|-1 - D_2|}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = |-1 - D_2|$

$3 = |-1 - D_2|$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $-1 - D_2 = 3$

$-D_2 = 3 + 1$

$-D_2 = 4$

$D_2 = -4$

В этом случае уравнение плоскости будет $x + y + z - 4 = 0$.

2) $-1 - D_2 = -3$

$-D_2 = -3 + 1$

$-D_2 = -2$

$D_2 = 2$

В этом случае уравнение плоскости будет $x + y + z + 2 = 0$.

Таким образом, существует две плоскости, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ:

Уравнения плоскостей: $x + y + z - 4 = 0$ и $x + y + z + 2 = 0$.