Номер 214, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

214. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точки:

а) $B(0; 2; 3)$, $C(-1; 3; 1)$, $D(2; 1; 1)$;

б) $K(1; 2; 3)$, $L(0; 7; 1)$, $P(1; 5; 0)$.

Дано:

Для подпункта а) заданы точки: $B(0; 2; 3)$, $C(-1; 3; 1)$, $D(2; 1; 1)$.

Для подпункта б) заданы точки: $K(1; 2; 3)$, $L(0; 7; 1)$, $P(1; 5; 0)$.

Точка, от которой необходимо найти расстояние: начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через заданные три точки, для каждого подпункта.

Решение:

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. В нашем случае, точка является началом координат $O(0, 0, 0)$, поэтому формула упрощается до: $d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Для определения уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ по трем точкам, мы найдем два вектора, лежащих в плоскости, а затем их векторное произведение, которое даст нормальный вектор плоскости $(A, B, C)$. После этого, подставив координаты одной из точек в уравнение плоскости, найдем $D$.

a)

Даны точки: $B(0; 2; 3)$, $C(-1; 3; 1)$, $D(2; 1; 1)$.

Составим два вектора, лежащих в плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{BC} = C - B = (-1 - 0; 3 - 2; 1 - 3) = (-1; 1; -2)$ $\vec{BD} = D - B = (2 - 0; 1 - 2; 1 - 3) = (2; -1; -2)$

Нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ к плоскости найдем как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-2) - (-2) \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 2)$ $\vec{n} = \mathbf{i}(-2 - 2) - \mathbf{j}(2 + 4) + \mathbf{k}(1 - 2)$ $\vec{n} = -4\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-4; -6; -1)$. Для удобства можно взять пропорциональный нормальный вектор $\vec{n'} = (4; 6; 1)$.

Используем уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (4; 6; 1)$ и точкой $B(0; 2; 3)$: $4(x - 0) + 6(y - 2) + 1(z - 3) = 0$ $4x + 6y - 12 + z - 3 = 0$ $4x + 6y + z - 15 = 0$. Итак, уравнение плоскости: $4x + 6y + z - 15 = 0$, где $A=4, B=6, C=1, D=-15$.

Теперь вычислим расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости: $d = \frac{|-15|}{\sqrt{4^2 + 6^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{16 + 36 + 1}} = \frac{15}{\sqrt{53}}$.

Ответ: $d = \frac{15}{\sqrt{53}}$.

б)

Даны точки: $K(1; 2; 3)$, $L(0; 7; 1)$, $P(1; 5; 0)$.

Составим два вектора, лежащих в плоскости, например, $\vec{KL}$ и $\vec{KP}$: $\vec{KL} = L - K = (0 - 1; 7 - 2; 1 - 3) = (-1; 5; -2)$ $\vec{KP} = P - K = (1 - 1; 5 - 2; 0 - 3) = (0; 3; -3)$

Нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ к плоскости найдем как векторное произведение $\vec{KL} \times \vec{KP}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5 \cdot (-3) - (-2) \cdot 3) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-3) - (-2) \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 3 - 5 \cdot 0)$ $\vec{n} = \mathbf{i}(-15 + 6) - \mathbf{j}(3 - 0) + \mathbf{k}(-3 - 0)$ $\vec{n} = -9\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (-9; -3; -3)$. Для удобства можно взять пропорциональный нормальный вектор $\vec{n'} = (3; 1; 1)$ (разделив все компоненты на $-3$).

Используем уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$ с нормальным вектором $\vec{n'} = (3; 1; 1)$ и точкой $K(1; 2; 3)$: $3(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$ $3x - 3 + y - 2 + z - 3 = 0$ $3x + y + z - 8 = 0$. Итак, уравнение плоскости: $3x + y + z - 8 = 0$, где $A=3, B=1, C=1, D=-8$.

Теперь вычислим расстояние от начала координат $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости: $d = \frac{|-8|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{8}{\sqrt{9 + 1 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{11}}$.

Ответ: $d = \frac{8}{\sqrt{11}}$.