Номер 213, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

213. Найдите расстояние от точки $M(2\sqrt{14}; 0; 2\sqrt{14})$ до плоскости, заданной уравнениями:

a) $\begin{cases} x - y = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$, и $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}$, и $\begin{cases} x - y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$.

a)

Дано:

Точка $M(2\sqrt{14}; 0; 2\sqrt{14})$.

Плоскость, заданная уравнениями:

Система 1: $\begin{cases} x-y=0 \\ y+z=0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x+3y+z=0 \end{cases}$

Найти:

Расстояние от точки $M$ до плоскости.

Решение:

Предполагаем, что искомая плоскость проходит через линии пересечения каждой из двух заданных систем уравнений.

Найдем линию $L_1$ – пересечение плоскостей $x-y=0$ и $y+z=0$.

Из первого уравнения следует $x=y$.

Из второго уравнения следует $z=-y$.

Таким образом, параметрические уравнения линии $L_1$ имеют вид $(t, t, -t)$. Направляющий вектор линии $L_1$ равен $\vec{v_1} = (1, 1, -1)$.

Найдем линию $L_2$ – пересечение плоскостей $x+y+z=0$ и $2x+3y+z=0$.

Вычтем первое уравнение из второго: $(2x+3y+z) - (x+y+z) = 0 \Rightarrow x+2y=0 \Rightarrow x=-2y$.

Подставим $x=-2y$ в первое уравнение: $(-2y)+y+z=0 \Rightarrow -y+z=0 \Rightarrow z=y$.

Таким образом, параметрические уравнения линии $L_2$ имеют вид $(-2s, s, s)$. Направляющий вектор линии $L_2$ равен $\vec{v_2} = (-2, 1, 1)$.

Проверим, пересекаются ли линии $L_1$ и $L_2$. Приравняем их координаты: $t = -2s$, $t = s$, $-t = s$. Из $t=s$ и $t=-2s$ следует $s=-2s$, что дает $3s=0$, то есть $s=0$. Отсюда $t=0$. Таким образом, линии пересекаются в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку обе линии проходят через начало координат и не являются параллельными (их направляющие векторы $\vec{v_1}=(1,1,-1)$ и $\vec{v_2}=(-2,1,1)$ не коллинеарны, так как $\frac{1}{-2} \ne \frac{1}{1}$), они определяют плоскость.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости можно найти как векторное произведение направляющих векторов линий:

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((1)(1) - (-1)(1)) - \vec{j}((1)(1) - (-1)(-2)) + \vec{k}((1)(1) - (1)(-2))$

$\vec{n} = \vec{i}(1+1) - \vec{j}(1-2) + \vec{k}(1+2) = (2, 1, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя нормальный вектор $\vec{n}=(2,1,3)$, получаем $2x+y+3z+D=0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $(0,0,0)$, подставим эти координаты в уравнение: $2(0)+0+3(0)+D=0 \Rightarrow D=0$.

Таким образом, уравнение искомой плоскости для части (a) есть $2x+y+3z=0$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(2\sqrt{14}; 0; 2\sqrt{14})$ до плоскости $2x+y+3z=0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Здесь $A=2, B=1, C=3, D=0$. Координаты точки $M(x_0, y_0, z_0) = (2\sqrt{14}, 0, 2\sqrt{14})$.

$d = \frac{|2(2\sqrt{14}) + 1(0) + 3(2\sqrt{14}) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|4\sqrt{14} + 0 + 6\sqrt{14}|}{\sqrt{4 + 1 + 9}}$

$d = \frac{|10\sqrt{14}|}{\sqrt{14}}$

$d = 10$.

Ответ: $10$

б)

Дано:

Точка $M(2\sqrt{14}; 0; 2\sqrt{14})$.

Плоскость, заданная уравнениями:

Система 1: $\begin{cases} 2x+y-z=0 \\ x+2y+z=0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x-y+2z=0 \\ -x+2y-z=0 \end{cases}$

Найти:

Расстояние от точки $M$ до плоскости.

Решение:

Предполагаем, что искомая плоскость проходит через линии пересечения каждой из двух заданных систем уравнений.

Найдем линию $L_3$ – пересечение плоскостей $2x+y-z=0$ и $x+2y+z=0$.

Сложим уравнения: $(2x+y-z) + (x+2y+z) = 0 \Rightarrow 3x+3y=0 \Rightarrow x=-y$.

Подставим $x=-y$ в первое уравнение: $2(-y)+y-z=0 \Rightarrow -y-z=0 \Rightarrow z=-y$.

Таким образом, параметрические уравнения линии $L_3$ имеют вид $(-t, t, -t)$. Направляющий вектор линии $L_3$ равен $\vec{v_3} = (-1, 1, -1)$.

Найдем линию $L_4$ – пересечение плоскостей $x-y+2z=0$ и $-x+2y-z=0$.

Сложим уравнения: $(x-y+2z) + (-x+2y-z) = 0 \Rightarrow y+z=0 \Rightarrow z=-y$.

Подставим $z=-y$ в первое уравнение: $x-y+2(-y)=0 \Rightarrow x-3y=0 \Rightarrow x=3y$.

Таким образом, параметрические уравнения линии $L_4$ имеют вид $(3s, s, -s)$. Направляющий вектор линии $L_4$ равен $\vec{v_4} = (3, 1, -1)$.

Проверим, пересекаются ли линии $L_3$ и $L_4$. Приравняем их координаты: $-t = 3s$, $t = s$, $-t = -s$. Из $t=s$ и $-t=3s$ следует $-s=3s$, что дает $4s=0$, то есть $s=0$. Отсюда $t=0$. Таким образом, линии пересекаются в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку обе линии проходят через начало координат и не являются параллельными (их направляющие векторы $\vec{v_3}=(-1,1,-1)$ и $\vec{v_4}=(3,1,-1)$ не коллинеарны, так как $\frac{-1}{3} \ne \frac{1}{1}$), они определяют плоскость.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости можно найти как векторное произведение направляющих векторов линий:

$\vec{n} = \vec{v_3} \times \vec{v_4} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}((1)(-1) - (-1)(1)) - \vec{j}((-1)(-1) - (-1)(3)) + \vec{k}((-1)(1) - (1)(3))$

$\vec{n} = \vec{i}(-1+1) - \vec{j}(1+3) + \vec{k}(-1-3) = (0, -4, -4)$.

Для упрощения можно использовать нормальный вектор $\vec{n}' = (0, 1, 1)$, разделив компоненты на $-4$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя нормальный вектор $\vec{n}'=(0,1,1)$, получаем $0x+1y+1z+D=0$, или $y+z+D=0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $(0,0,0)$, подставим эти координаты в уравнение: $0+0+D=0 \Rightarrow D=0$.

Таким образом, уравнение искомой плоскости для части (b) есть $y+z=0$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(2\sqrt{14}; 0; 2\sqrt{14})$ до плоскости $y+z=0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Здесь $A=0, B=1, C=1, D=0$. Координаты точки $M(x_0, y_0, z_0) = (2\sqrt{14}, 0, 2\sqrt{14})$.

$d = \frac{|0(2\sqrt{14}) + 1(0) + 1(2\sqrt{14}) + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|0 + 0 + 2\sqrt{14}|}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|2\sqrt{14}|}{\sqrt{2}}$

$d = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{14}{2}} = 2\sqrt{7}$.

Ответ: $2\sqrt{7}$