Номер 206, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

206. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 12. На его ребрах $BB_1$, $BC$ и $BA$ отмечены точки $M, N$ и $K$ соответственно, которые делят эти ребра в отношении $3 : 1$, считая от вершины $B$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 12$.
Точки $M$, $N$, $K$ отмечены на ребрах $BB_1$, $BC$ и $BA$ соответственно.
Точки $M$, $N$, $K$ делят соответствующие ребра в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

Найти:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $B$.
Ось $Ox$ направим вдоль ребра $BA$.
Ось $Oy$ направим вдоль ребра $BC$.
Ось $Oz$ направим вдоль ребра $BB_1$.

Длина ребра куба $a = 12$.
Координаты вершины $B$ будут $(0, 0, 0)$.

Найдем координаты точек $M$, $N$, $K$. Поскольку точки делят ребра в отношении $3:1$ от вершины $B$, то длины отрезков $BM$, $BN$, $BK$ равны $3/4$ от длины ребра:
$BM = BN = BK = \frac{3}{3+1} \cdot 12 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$.
Точка $K$ лежит на оси $Ox$ (ребро $BA$), поэтому $K(9, 0, 0)$.
Точка $N$ лежит на оси $Oy$ (ребро $BC$), поэтому $N(0, 9, 0)$.
Точка $M$ лежит на оси $Oz$ (ребро $BB_1$), поэтому $M(0, 0, 9)$.

Найдем координаты точки $D_1$.
Координаты вершины $A$ - $(12, 0, 0)$.
Координаты вершины $C$ - $(0, 12, 0)$.
Координаты вершины $B_1$ - $(0, 0, 12)$.
Вершина $D$ находится в плоскости $Oxy$ и имеет координаты $(12, 12, 0)$.
Вершина $D_1$ находится над вершиной $D$ на высоте $a=12$, поэтому $D_1(12, 12, 12)$.

Найдем уравнение плоскости $MNK$.
Поскольку точки $M$, $N$, $K$ лежат на осях координат, можно использовать уравнение плоскости в отрезках: $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1$, где $x_0, y_0, z_0$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
В нашем случае $x_0 = 9$, $y_0 = 9$, $z_0 = 9$.
Уравнение плоскости $MNK$ будет: $\frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$.
Умножим обе части на $9$, чтобы получить общее уравнение плоскости: $x + y + z = 9$, или $x + y + z - 9 = 0$.
Здесь $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-9$.

Расстояние от точки $(x_p, y_p, z_p)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_p + By_p + Cz_p + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Координаты точки $D_1$ - $(12, 12, 12)$.
Подставим значения:
$d = \frac{|1 \cdot 12 + 1 \cdot 12 + 1 \cdot 12 - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$d = \frac{|12 + 12 + 12 - 9|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$.
$d = \frac{|36 - 9|}{\sqrt{3}}$.
$d = \frac{27}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$d = \frac{27\sqrt{3}}{3}$.
$d = 9\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$ равно $9\sqrt{3}$.