Страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

200. Найдите расстояние от точки $A(2; 1; m)$, принадлежащей плоскости $3x - y + 2z - 1 = 0$, до плоскости $12x - 3y + 4z + 13 = 0$.

Дано:

Точка $A(2; 1; m)$

Плоскость $P_1: 3x - y + 2z - 1 = 0$

Плоскость $P_2: 12x - 3y + 4z + 13 = 0$

Точка $A$ принадлежит плоскости $P_1$.

Перевод в систему СИ:

Данная задача не содержит величин, требующих перевода в систему СИ.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $P_2$, обозначим как $d(A, P_2)$.

Решение:

1. Нахождение значения $m$:

Поскольку точка $A(2; 1; m)$ принадлежит плоскости $P_1: 3x - y + 2z - 1 = 0$, подставим координаты точки $A$ в уравнение плоскости $P_1$:

$3(2) - (1) + 2(m) - 1 = 0$

$6 - 1 + 2m - 1 = 0$

$4 + 2m = 0$

$2m = -4$

$m = -2$

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(2; 1; -2)$.

2. Вычисление расстояния от точки $A$ до плоскости $P_2$:

Используем формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае:

Точка $A(x_0, y_0, z_0) = (2, 1, -2)$

Плоскость $P_2: 12x - 3y + 4z + 13 = 0$, где $A=12$, $B=-3$, $C=4$, $D=13$.

Подставляем значения в формулу:

$d(A, P_2) = \frac{|12(2) + (-3)(1) + 4(-2) + 13|}{\sqrt{12^2 + (-3)^2 + 4^2}}$

$d(A, P_2) = \frac{|24 - 3 - 8 + 13|}{\sqrt{144 + 9 + 16}}$

$d(A, P_2) = \frac{|24 - 3 - 8 + 13|}{\sqrt{169}}$

$d(A, P_2) = \frac{|11 + 13|}{\sqrt{169}}$

$d(A, P_2) = \frac{|24|}{13}$

$d(A, P_2) = \frac{24}{13}$

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $P_2$ равно $24/13$.

201. Точка $M(1; m; n)$ принадлежит прямой, заданной уравнением $ \begin{cases} x + y - z - 4 = 0, \\ 2x - y + 4z - 5 = 0. \end{cases} $ Найдите расстояние от этой точки до плоскости $x + y + z + 1 = 0.$

Дано:

Точка $M(1; m; n)$

Прямая задана системой уравнений:

$\begin{cases} x + y - z - 4 = 0 \\ 2x - y + 4z - 5 = 0 \end{cases}$

Плоскость задана уравнением: $x + y + z + 1 = 0$

Найти:

Расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости.

Решение:

Поскольку точка $M(1; m; n)$ принадлежит заданной прямой, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям прямой. Подставим координаты точки $M$ в уравнения прямой:

$\begin{cases} 1 + m - n - 4 = 0 \\ 2(1) - m + 4n - 5 = 0 \end{cases}$

Упростим систему уравнений:

$\begin{cases} m - n - 3 = 0 \Rightarrow m - n = 3 \quad (1) \\ 2 - m + 4n - 5 = 0 \Rightarrow -m + 4n = 3 \quad (2) \end{cases}$

Сложим уравнение (1) и уравнение (2), чтобы исключить $m$:

$(m - n) + (-m + 4n) = 3 + 3$

$3n = 6$

$n = 2$

Подставим значение $n = 2$ в уравнение (1):

$m - 2 = 3$

$m = 5$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(1; 5; 2)$.

Теперь найдем расстояние от точки $M(1; 5; 2)$ до плоскости $x + y + z + 1 = 0$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Для данной плоскости имеем $A = 1$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Координаты точки $M$: $x_0 = 1$, $y_0 = 5$, $z_0 = 2$.

Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения:

$d = \frac{|(1)(1) + (1)(5) + (1)(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 5 + 2 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|9|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{9}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$d = \frac{9\sqrt{3}}{3}$

$d = 3\sqrt{3}$

Ответ: $3\sqrt{3}$

202. a) Дан треугольник с вершинами в точках $A(2; 1; 0)$, $B(1; 3; 0)$, $C(4; 4; 0)$. Найдите расстояние от точки $M(2020; 2021; 2030)$ до плоскости $ABC$.

б) Известны координаты вершин тетраэдра $A(3; 0; 1)$, $B(-1; 4; 1)$, $C(5; 2; 1)$, $D(0; -5; 6)$. Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $ABC$.

а)

Дано:

точки $A(2; 1; 0)$, $B(1; 3; 0)$, $C(4; 4; 0)$;

точка $M(2020; 2021; 2030)$.

Найти:

расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Найдем уравнение плоскости $ABC$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (1-2; 3-1; 0-0) = (-1; 2; 0)$.

$\vec{AC} = C - A = (4-2; 4-1; 0-0) = (2; 3; 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(-1 \cdot 3 - 2 \cdot 2)$

$\vec{n} = (0; 0; -7)$.

Для удобства можно взять нормальный вектор $\vec{n'} = (0; 0; 1)$, который сонаправлен с $\vec{n}$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для $\vec{n'} = (0; 0; 1)$ получаем $0x + 0y + 1z + D = 0$, или $z + D = 0$.

Подставим координаты точки $A(2; 1; 0)$ в уравнение плоскости:

$0 + D = 0 \implies D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $z = 0$. (Это также очевидно из того, что все точки $A, B, C$ имеют z-координату, равную 0, т.е. они лежат в плоскости $Oxy$).

2. Найдем расстояние от точки $M(2020; 2021; 2030)$ до плоскости $z = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $z = 0$ (т.е., $0x + 0y + 1z + 0 = 0$), имеем $A=0, B=0, C=1, D=0$.

Для точки $M(2020; 2021; 2030)$, имеем $x_0=2020, y_0=2021, z_0=2030$.

$d = \frac{|0 \cdot 2020 + 0 \cdot 2021 + 1 \cdot 2030 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|2030|}{\sqrt{1}} = 2030$.

Ответ: $2030$.

б)

Дано:

координаты вершин тетраэдра $A(3; 0; 1)$, $B(-1; 4; 1)$, $C(5; 2; 1)$, $D(0; -5; 6)$.

Найти:

расстояние от вершины $D$ до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Найдем уравнение плоскости $ABC$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{AB} = B - A = (-1-3; 4-0; 1-1) = (-4; 4; 0)$.

$\vec{AC} = C - A = (5-3; 2-0; 1-1) = (2; 2; 0)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 0 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(-4 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(-4 \cdot 2 - 4 \cdot 2)$

$\vec{n} = (0; 0; -16)$.

Для удобства можно взять нормальный вектор $\vec{n'} = (0; 0; 1)$, который сонаправлен с $\vec{n}$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для $\vec{n'} = (0; 0; 1)$ получаем $0x + 0y + 1z + D = 0$, или $z + D = 0$.

Подставим координаты точки $A(3; 0; 1)$ в уравнение плоскости:

$1 + D = 0 \implies D = -1$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC$ есть $z - 1 = 0$, или $z = 1$. (Это также очевидно из того, что все точки $A, B, C$ имеют z-координату, равную 1, т.е. они лежат в плоскости $z=1$).

2. Найдем расстояние от точки $D(0; -5; 6)$ до плоскости $z = 1$.

Формула расстояния от точки $(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $z - 1 = 0$ (т.е., $0x + 0y + 1z - 1 = 0$), имеем $A=0, B=0, C=1, D=-1$.

Для точки $D(0; -5; 6)$, имеем $x_0=0, y_0=-5, z_0=6$.

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot (-5) + 1 \cdot 6 - 1|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|6 - 1|}{\sqrt{1}} = \frac{|5|}{1} = 5$.

Ответ: $5$.

203. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точку A(-5; 4; -3) и перпендикулярной вектору:

a) $ \vec{n} = 3\vec{i} + 3\vec{j} $;

б) $ \vec{n} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} $.

Дано:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Точка $O(0, 0, 0)$ (начало координат)

Найти:
Расстояние от точки $O$ до плоскости $d$.

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ и перпендикулярной вектору $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:
$A(x - x_A) + B(y - y_A) + C(z - z_A) = 0$
Расстояние от точки $O(x_O, y_O, z_O)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_O + By_O + Cz_O + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а) n = 3i + 3j

Для данного случая имеем:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Нормальный вектор $\vec{n} = (3, 3, 0)$, то есть $A=3$, $B=3$, $C=0$.

Составим уравнение плоскости:
$3(x - (-5)) + 3(y - 4) + 0(z - (-3)) = 0$
$3(x + 5) + 3(y - 4) = 0$
$3x + 15 + 3y - 12 = 0$
$3x + 3y + 3 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3:
$x + y + 1 = 0$
Здесь $A=1$, $B=1$, $C=0$, $D=1$.

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0, 0, 0)$ до этой плоскости:
$d = \frac{|1(0) + 1(0) + 0(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1 + 0}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) n = 2i + 2j + k

Для данного случая имеем:
Точка $A(-5, 4, -3)$
Нормальный вектор $\vec{n} = (2, 2, 1)$, то есть $A=2$, $B=2$, $C=1$.

Составим уравнение плоскости:
$2(x - (-5)) + 2(y - 4) + 1(z - (-3)) = 0$
$2(x + 5) + 2(y - 4) + (z + 3) = 0$
$2x + 10 + 2y - 8 + z + 3 = 0$
$2x + 2y + z + 5 = 0$
Здесь $A=2$, $B=2$, $C=1$, $D=5$.

Теперь найдем расстояние от начала координат $O(0, 0, 0)$ до этой плоскости:
$d = \frac{|2(0) + 2(0) + 1(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d = \frac{5}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

204. Через точку M(2; -1; -2) проходит плоскость, перпендикулярная вектору $\vec{n} = -4\vec{i} + 12\vec{j} - 3\vec{k}$. Найдите расстояние от точки B(2; 4; 5) до этой плоскости.

Дано:

Точка $M(2; -1; -2)$, через которую проходит плоскость.

Нормальный вектор плоскости $\vec{n} = -4\vec{i} + 12\vec{j} - 3\vec{k}$.

Точка $B(2; 4; 5)$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до данной плоскости.

Решение:

Для начала найдем уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае $M(x_0, y_0, z_0) = (2, -1, -2)$ и $\vec{n} = (-4, 12, -3)$, то есть $A = -4$, $B = 12$, $C = -3$.

Подставляем значения в уравнение:

$-4(x - 2) + 12(y - (-1)) - 3(z - (-2)) = 0$

$-4(x - 2) + 12(y + 1) - 3(z + 2) = 0$

Раскрываем скобки:

$-4x + 8 + 12y + 12 - 3z - 6 = 0$

Приводим подобные члены:

$-4x + 12y - 3z + (8 + 12 - 6) = 0$

$-4x + 12y - 3z + 14 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$4x - 12y + 3z - 14 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_1, y_1, z_1) = (2, 4, 5)$ до этой плоскости. Формула для расстояния $d$ от точки $(x_1, y_1, z_1)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Здесь $A=4$, $B=-12$, $C=3$, $D=-14$, а $x_1=2$, $y_1=4$, $z_1=5$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|4(2) + (-12)(4) + 3(5) + (-14)|}{\sqrt{4^2 + (-12)^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|8 - 48 + 15 - 14|}{\sqrt{16 + 144 + 9}}$

$d = \frac{|-40 + 15 - 14|}{\sqrt{169}}$

$d = \frac{|-25 - 14|}{13}$

$d = \frac{|-39|}{13}$

$d = \frac{39}{13}$

$d = 3$

Ответ:

Расстояние от точки $B(2; 4; 5)$ до плоскости равно $3$.

205. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 6. Точки $M, N$ и $K$ – середины его ребер $A_1B_1$, $A_1D_1$ и $A_1A$ соответственно. Найдите расстояния от вершины куба до плоскости $MNK$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро $a = 6$.

Точки $M, N, K$ — середины ребер $A_1B_1, A_1D_1, A_1A$ соответственно.

Перевод в СИ: Не требуется, так как задача оперирует безразмерными величинами.

Найти:

Расстояния от всех вершин куба до плоскости $MNK$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A_1$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $A_1B_1$ направлено вдоль оси $Ox$, ребро $A_1D_1$ вдоль оси $Oy$, и ребро $A_1A$ вдоль оси $Oz$.

Длина ребра куба $a = 6$.

Координаты вершин куба:

• $A_1 = (0,0,0)$
• $B_1 = (6,0,0)$
• $D_1 = (0,6,0)$
• $A = (0,0,6)$
• $C_1 = (6,6,0)$
• $B = (6,0,6)$
• $D = (0,6,6)$
• $C = (6,6,6)$

Точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих ребер:

• $M$ — середина $A_1B_1$: $M = (\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3,0,0)$
• $N$ — середина $A_1D_1$: $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0,3,0)$
• $K$ — середина $A_1A$: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}) = (0,0,3)$

Найдем уравнение плоскости $MNK$. Так как плоскость пересекает оси координат в точках $(3,0,0)$, $(0,3,0)$ и $(0,0,3)$, ее уравнение в отрезках может быть записано как:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Умножим на 3, чтобы получить общее уравнение плоскости:

$x + y + z = 3$

Или $x + y + z - 3 = 0$.

Общий вид уравнения плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$. В нашем случае $A=1, B=1, C=1, D=-3$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $x + y + z - 3 = 0$ и любой вершины $(x_v, y_v, z_v)$ куба, формула расстояния будет:

$d = \frac{|x_v + y_v + z_v - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|x_v + y_v + z_v - 3|}{\sqrt{3}}$

Вычислим расстояния для каждой вершины куба:

• Расстояние от $A_1=(0,0,0)$: $d_{A_1} = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $B_1=(6,0,0)$: $d_{B_1} = \frac{|6+0+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $D_1=(0,6,0)$: $d_{D_1} = \frac{|0+6+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $A=(0,0,6)$: $d_{A} = \frac{|0+0+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
• Расстояние от $C_1=(6,6,0)$: $d_{C_1} = \frac{|6+6+0-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $B=(6,0,6)$: $d_{B} = \frac{|6+0+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $D=(0,6,6)$: $d_{D} = \frac{|0+6+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$
• Расстояние от $C=(6,6,6)$: $d_{C} = \frac{|6+6+6-3|}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ:

Расстояния от вершин куба до плоскости $MNK$ составляют:

• Для вершин $A_1, B_1, D_1, A$: $\sqrt{3}$
• Для вершин $C_1, B, D$: $3\sqrt{3}$
• Для вершины $C$: $5\sqrt{3}$

206. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 12. На его ребрах $BB_1$, $BC$ и $BA$ отмечены точки $M, N$ и $K$ соответственно, которые делят эти ребра в отношении $3 : 1$, считая от вершины $B$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 12$.
Точки $M$, $N$, $K$ отмечены на ребрах $BB_1$, $BC$ и $BA$ соответственно.
Точки $M$, $N$, $K$ делят соответствующие ребра в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

Найти:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $B$.
Ось $Ox$ направим вдоль ребра $BA$.
Ось $Oy$ направим вдоль ребра $BC$.
Ось $Oz$ направим вдоль ребра $BB_1$.

Длина ребра куба $a = 12$.
Координаты вершины $B$ будут $(0, 0, 0)$.

Найдем координаты точек $M$, $N$, $K$. Поскольку точки делят ребра в отношении $3:1$ от вершины $B$, то длины отрезков $BM$, $BN$, $BK$ равны $3/4$ от длины ребра:
$BM = BN = BK = \frac{3}{3+1} \cdot 12 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$.
Точка $K$ лежит на оси $Ox$ (ребро $BA$), поэтому $K(9, 0, 0)$.
Точка $N$ лежит на оси $Oy$ (ребро $BC$), поэтому $N(0, 9, 0)$.
Точка $M$ лежит на оси $Oz$ (ребро $BB_1$), поэтому $M(0, 0, 9)$.

Найдем координаты точки $D_1$.
Координаты вершины $A$ - $(12, 0, 0)$.
Координаты вершины $C$ - $(0, 12, 0)$.
Координаты вершины $B_1$ - $(0, 0, 12)$.
Вершина $D$ находится в плоскости $Oxy$ и имеет координаты $(12, 12, 0)$.
Вершина $D_1$ находится над вершиной $D$ на высоте $a=12$, поэтому $D_1(12, 12, 12)$.

Найдем уравнение плоскости $MNK$.
Поскольку точки $M$, $N$, $K$ лежат на осях координат, можно использовать уравнение плоскости в отрезках: $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1$, где $x_0, y_0, z_0$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
В нашем случае $x_0 = 9$, $y_0 = 9$, $z_0 = 9$.
Уравнение плоскости $MNK$ будет: $\frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$.
Умножим обе части на $9$, чтобы получить общее уравнение плоскости: $x + y + z = 9$, или $x + y + z - 9 = 0$.
Здесь $A=1$, $B=1$, $C=1$, $D=-9$.

Расстояние от точки $(x_p, y_p, z_p)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_p + By_p + Cz_p + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Координаты точки $D_1$ - $(12, 12, 12)$.
Подставим значения:
$d = \frac{|1 \cdot 12 + 1 \cdot 12 + 1 \cdot 12 - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$d = \frac{|12 + 12 + 12 - 9|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$.
$d = \frac{|36 - 9|}{\sqrt{3}}$.
$d = \frac{27}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$d = \frac{27\sqrt{3}}{3}$.
$d = 9\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $MNK$ равно $9\sqrt{3}$.

207. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны ребра $AB = 3, BC = 4, BB_1 = 12$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер: $AB = 3$, $BC = 4$, $BB_1 = 12$.

Перевод в систему СИ:

Длины ребер заданы в условных единицах, которые совместимы между собой. Перевод в систему СИ не требуется, так как конечный ответ также будет в этих условных единицах.

Найти:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$.

Решение:

Расположим прямоугольный параллелепипед в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $D(0,0,0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль ребра $DC$.

Ось $Oy$ направим вдоль ребра $DA$.

Ось $Oz$ направим вдоль ребра $DD_1$.

Тогда координаты вершин будут:

$D = (0, 0, 0)$

$C = (AB, 0, 0) = (3, 0, 0)$

$A = (0, BC, 0) = (0, 4, 0)$

$D_1 = (0, 0, BB_1) = (0, 0, 12)$

$A_1 = (0, BC, BB_1) = (0, 4, 12)$

$C_1 = (AB, 0, BB_1) = (3, 0, 12)$

Найдем уравнение плоскости $A_1C_1D$. Пусть общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$.

Точка $D(0,0,0)$ лежит на плоскости, поэтому $A(0) + B(0) + C(0) + D_{plane} = 0$, откуда $D_{plane} = 0$.

Уравнение плоскости примет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Точка $A_1(0,4,12)$ лежит на плоскости:

$A(0) + B(4) + C(12) = 0 \Rightarrow 4B + 12C = 0 \Rightarrow B = -3C$.

Точка $C_1(3,0,12)$ лежит на плоскости:

$A(3) + B(0) + C(12) = 0 \Rightarrow 3A + 12C = 0 \Rightarrow A = -4C$.

Подставим значения $A = -4C$ и $B = -3C$ в уравнение плоскости:

$(-4C)x + (-3C)y + Cz = 0$.

Предполагая, что $C \neq 0$ (иначе это не плоскость), разделим все члены на $C$:

$-4x - 3y + z = 0$, или $4x + 3y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $D_1(0,0,12)$ до плоскости $4x + 3y - z = 0$.

Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,12)$, и уравнение плоскости $4x + 3y - z = 0$, так что $A=4, B=3, C=-1, D=0$.

$d = \frac{|4(0) + 3(0) + (-1)(12) + 0|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|0 + 0 - 12|}{\sqrt{16 + 9 + 1}}$

$d = \frac{|-12|}{\sqrt{26}}$

$d = \frac{12}{\sqrt{26}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:

$d = \frac{12\sqrt{26}}{26} = \frac{6\sqrt{26}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $D_1$ до плоскости $A_1C_1D$ равно $\frac{6\sqrt{26}}{13}$.

208. Высота правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 4, а сторона основания равна $2\sqrt{2}$. Найдите расстояние от точки A до плоскости PCD.

Дано:

Высота правильной четырехугольной пирамиды $PABCD$: $PO = 4$.

Сторона основания пирамиды: $a = 2\sqrt{2}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$, $d(A, \text{PCD})$.

Решение:

Пусть $O$ - центр основания $ABCD$ правильной четырехугольной пирамиды $PABCD$. Тогда $PO$ - высота пирамиды.

Для нахождения расстояния от точки $A$ до плоскости $PCD$ воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $APCD$. Его объем $V_{APCD}$ может быть выражен двумя способами:

1. Если за основание тетраэдра $APCD$ принять треугольник $ACD$, то высотой будет высота пирамиды $PO$. Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a = 2\sqrt{2}$. Площадь квадрата $ABCD$: $S_{ABCD} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Треугольник $ACD$ является половиной квадрата $ABCD$, поэтому его площадь: $S_{ACD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Объем тетраэдра $APCD$ в этом случае: $V_{APCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot PO = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{3}$.

2. Если за основание тетраэдра $APCD$ принять треугольник $PCD$, то высотой будет искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$, обозначим его $h_A = d(A, \text{PCD})$. Для этого нам необходимо найти площадь треугольника $PCD$. Треугольник $PCD$ - это боковая грань пирамиды. Его основание $CD = a = 2\sqrt{2}$. Высота треугольника $PCD$, опущенная из вершины $P$ на сторону $CD$, называется апофемой пирамиды. Пусть $M$ - середина стороны $CD$. Тогда $PM$ - апофема. Длина отрезка $OM$ (расстояние от центра основания до середины стороны): $OM = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $POM$, где $PO$ - высота пирамиды, $OM$ - половина стороны основания. По теореме Пифагора найдем апофему $PM$: $PM^2 = PO^2 + OM^2$. $PM^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$. $PM = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь треугольника $PCD$: $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})$. $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$.

Объем тетраэдра $APCD$ в этом случае: $V_{APCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{PCD} \cdot h_A = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot h_A = 2 h_A$.

Приравнивая два выражения для объема тетраэдра $APCD$: $2 h_A = \frac{16}{3}$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $h_A$: $h_A = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $PCD$ равно $\frac{8}{3}$.

209. Дан тетраэдр $PABC$, все плоские углы при вершине $P$ которого прямые, $PA = 9$ см, $PB = 12$ см и $PC = 16$ см. Найдите с точностью до $0,1$ см расстояние от вершины $P$ этого тетраэдра до плоскости $ABC$.

Дано:

Дан тетраэдр $PABC$, у которого все плоские углы при вершине $P$ прямые.

$PA = 9 \text{ см}$

$PB = 12 \text{ см}$

$PC = 16 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$PA = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$PB = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$PC = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости $ABC$, с точностью до $0.1 \text{ см}$. Обозначим это расстояние $h$.

Решение:

Поскольку все плоские углы при вершине $P$ прямые, ребра $PA$, $PB$, $PC$ взаимно перпендикулярны.

Объем тетраэдра $PABC$ с взаимно перпендикулярными ребрами, выходящими из одной вершины, может быть вычислен по формуле:

$V = \frac{1}{6} \cdot PA \cdot PB \cdot PC$

Подставим данные значения:

$V = \frac{1}{6} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = \frac{1}{6} \cdot 1728 \text{ см}^3 = 288 \text{ см}^3$

С другой стороны, объем тетраэдра также может быть выражен через площадь основания $S_{ABC}$ и высоту $h$, опущенную из вершины $P$ на это основание:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h$

Отсюда, искомая высота $h = \frac{3V}{S_{ABC}}$.

Для нахождения площади основания $S_{ABC}$ воспользуемся свойством тетраэдра с взаимно перпендикулярными ребрами: квадрат площади грани, противоположной вершине с прямыми углами, равен сумме квадратов площадей остальных трех граней, которые являются прямоугольными треугольниками.

Площади прямоугольных граней, выходящих из вершины $P$:

$S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$

$S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$

$S_{PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$

Тогда, площадь $S_{ABC}$ находится по формуле:

$S_{ABC}^2 = S_{PAB}^2 + S_{PBC}^2 + S_{PAC}^2$

$S_{ABC}^2 = (54 \text{ см}^2)^2 + (96 \text{ см}^2)^2 + (72 \text{ см}^2)^2 = 2916 + 9216 + 5184 = 17316 \text{ см}^4$

$S_{ABC} = \sqrt{17316} \text{ см}^2$

Теперь найдем высоту $h$:

$h = \frac{3V}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot 288 \text{ см}^3}{\sqrt{17316} \text{ см}^2} = \frac{864}{\sqrt{17316}} \text{ см}$

Также можно использовать известную формулу для высоты, опущенной из вершины прямого угла в тетраэдре на противоположную грань:

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{PA^2} + \frac{1}{PB^2} + \frac{1}{PC^2}$

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{(9 \text{ см})^2} + \frac{1}{(12 \text{ см})^2} + \frac{1}{(16 \text{ см})^2} = \frac{1}{81 \text{ см}^2} + \frac{1}{144 \text{ см}^2} + \frac{1}{256 \text{ см}^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для $81=3^4$, $144=2^4 \cdot 3^2$, $256=2^8$ является $2^8 \cdot 3^4 = 256 \cdot 81 = 20736$.

$\frac{1}{h^2} = \frac{256}{20736 \text{ см}^2} + \frac{144}{20736 \text{ см}^2} + \frac{81}{20736 \text{ см}^2} = \frac{256 + 144 + 81}{20736 \text{ см}^2} = \frac{481}{20736 \text{ см}^2}$

Тогда $h^2 = \frac{20736}{481} \text{ см}^2$

$h = \sqrt{\frac{20736}{481}} \text{ см} = \frac{\sqrt{20736}}{\sqrt{481}} \text{ см}$

Вычислим значение $\sqrt{20736}$:

$\sqrt{20736} = 144$

Значит, $h = \frac{144}{\sqrt{481}} \text{ см}$

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{481} \approx 21.9317075$

$h \approx \frac{144}{21.9317075} \text{ см} \approx 6.56582 \text{ см}$

Округлим результат до $0.1 \text{ см}$:

$h \approx 6.6 \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от вершины $P$ до плоскости $ABC$ составляет приблизительно $6.6 \text{ см}$.