Страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Запишите и выведите формулу расстояния от точки до плоскости.

2. По какой формуле можно найти расстояние от начала координат до плоскости?

1. Запишите и выведите формулу расстояния от точки до плоскости.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Вывод формулы:

Расстояние от точки до плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$. Поскольку точка $M_1$ лежит на плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$. Отсюда следует, что $D = -Ax_1 - By_1 - Cz_1$.

2. Построим вектор $\vec{M_1M_0}$, соединяющий точку $M_1$ на плоскости с точкой $M_0$. Координаты этого вектора: $\vec{M_1M_0} = \{x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1\}$.

3. Вектор нормали к плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет координаты $\vec{n} = \{A, B, C\}$.

4. Искомое расстояние $d$ равно модулю проекции вектора $\vec{M_1M_0}$ на нормальный вектор $\vec{n}$. Формула проекции вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ имеет вид: $\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.

Таким образом, $d = |\text{пр}_{\vec{n}}\vec{M_1M_0}| = \frac{|\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$.

5. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{M_1M_0}$ и $\vec{n}$:
$\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n} = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) + C(z_0 - z_1) = Ax_0 + By_0 + Cz_0 - (Ax_1 + By_1 + Cz_1)$.

6. Используя равенство из шага 1, заменим $-(Ax_1 + By_1 + Cz_1)$ на $D$:
$\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n} = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

7. Найдем модуль (длину) нормального вектора:
$|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.

8. Подставляя полученные выражения в формулу для расстояния из шага 4, получаем итоговую формулу:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Ответ: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

2. По какой формуле можно найти расстояние от начала координат до плоскости?

Для нахождения расстояния от начала координат до плоскости используется та же самая формула, что и в пункте 1. Начало координат — это точка $O$ с координатами $(0, 0, 0)$.

Подставим координаты точки $O$ ($x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$) в общую формулу расстояния от точки до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

После упрощения выражения в числителе получаем формулу для расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

198. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, проходящей через точку:

а) $M(4; -2; -6)$ и перпендикулярной оси аппликат;

б) $N(-7; 4; 5)$ и перпендикулярной оси абсцисс.

Дано:

Начало координат $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Расстояние от начала координат до плоскости.

Решение:

Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Расстояние от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ определяется формулой:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае точка $P_0$ - это начало координат $O(0; 0; 0)$, поэтому $x_0=0, y_0=0, z_0=0$.

Формула для расстояния от начала координат до плоскости упрощается до:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

а) M(4; -2; -6) и перпендикулярной оси аппликат;

Дано:

Точка $M(4; -2; -6)$.

Плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси Z).

Найти:

Расстояние от $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение:

Если плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси Z), это означает, что ее нормальный вектор параллелен оси Z. Таким образом, компоненты нормального вектора по осям X и Y равны нулю, т.е. $A=0$ и $B=0$. Уравнение плоскости принимает вид $Cz + D = 0$. Мы можем разделить на $C$ (поскольку $C \neq 0$), чтобы получить $z + D' = 0$, или $z = -D'$. Пусть это будет $z = k$.

Поскольку плоскость проходит через точку $M(4; -2; -6)$, координата $z$ этой точки должна удовлетворять уравнению плоскости.

Следовательно, $k = -6$.

Уравнение плоскости: $z = -6$, или $0x + 0y + 1z + 6 = 0$.

Здесь $A=0$, $B=0$, $C=1$, $D=6$.

Используем формулу расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{1}} = 6$

Ответ: $6$

б) N(-7; 4; 5) и перпендикулярной оси абсцисс.

Дано:

Точка $N(-7; 4; 5)$.

Плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси X).

Найти:

Расстояние от $O(0; 0; 0)$ до этой плоскости.

Решение:

Если плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси X), это означает, что ее нормальный вектор параллелен оси X. Таким образом, компоненты нормального вектора по осям Y и Z равны нулю, т.е. $B=0$ и $C=0$. Уравнение плоскости принимает вид $Ax + D = 0$. Мы можем разделить на $A$ (поскольку $A \neq 0$), чтобы получить $x + D' = 0$, или $x = -D'$. Пусть это будет $x = k$.

Поскольку плоскость проходит через точку $N(-7; 4; 5)$, координата $x$ этой точки должна удовлетворять уравнению плоскости.

Следовательно, $k = -7$.

Уравнение плоскости: $x = -7$, или $1x + 0y + 0z + 7 = 0$.

Здесь $A=1$, $B=0$, $C=0$, $D=7$.

Используем формулу расстояния от начала координат до плоскости:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{1}} = 7$

Ответ: $7$

199. Найдите расстояние:

а) от точки $A(-2; 3; -4)$ до плоскостей $2x + 2y - z = 0$ и $2x + 2y - z + 3 = 0$;

б) от точки $B(1; -5; 0)$ до плоскостей $4x - 4y + 2z = 0$ и $4x - 4y - 4\sqrt{2} \cdot z + 16 = 0$.

Дано:

Точка $A(-2; 3; -4)$.

Плоскость $\pi_1: 2x + 2y - z = 0$.

Плоскость $\pi_2: 2x + 2y - z + 3 = 0$.

Точка $B(1; -5; 0)$.

Плоскость $\pi_3: 4x - 4y + 2z = 0$.

Плоскость $\pi_4: 4x - 4y - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$.

Найти:

а) Расстояние от точки $A$ до плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$.

б) Расстояние от точки $B$ до плоскостей $\pi_3$ и $\pi_4$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ используется формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

a) от точки A(-2; 3; -4) до плоскостей 2x + 2y - z = 0 и 2x + 2y - z + 3 = 0

Координаты точки $A$: $x_0 = -2$, $y_0 = 3$, $z_0 = -4$.

Для плоскости $\pi_1: 2x + 2y - z = 0$. Коэффициенты: $A=2, B=2, C=-1, D=0$.

Вычислим знаменатель (норму вектора нормали к плоскости):

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Вычислим числитель (модуль значения выражения плоскости при подстановке координат точки):

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |2(-2) + 2(3) + (-1)(-4) + 0| = |-4 + 6 + 4| = |6| = 6$.

Расстояние $d_1 = \frac{6}{3} = 2$.

Для плоскости $\pi_2: 2x + 2y - z + 3 = 0$. Коэффициенты: $A=2, B=2, C=-1, D=3$.

Знаменатель такой же, как и для $\pi_1$, то есть $3$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |2(-2) + 2(3) + (-1)(-4) + 3| = |-4 + 6 + 4 + 3| = |9| = 9$.

Расстояние $d_2 = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: $2$ и $3$.

б) от точки B(1; -5; 0) до плоскостей 4x - 4y + 2z = 0 и 4x - 4y - 4√2z + 16 = 0.

Координаты точки $B$: $x_0 = 1$, $y_0 = -5$, $z_0 = 0$.

Для плоскости $\pi_3: 4x - 4y + 2z = 0$. Коэффициенты: $A=4, B=-4, C=2, D=0$.

Вычислим знаменатель:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |4(1) + (-4)(-5) + 2(0) + 0| = |4 + 20 + 0| = |24| = 24$.

Расстояние $d_3 = \frac{24}{6} = 4$.

Для плоскости $\pi_4: 4x - 4y - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$. Коэффициенты: $A=4, B=-4, C=-4\sqrt{2}, D=16$.

Вычислим знаменатель:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 16 + (16 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$.

Вычислим числитель:

$|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |4(1) + (-4)(-5) + (-4\sqrt{2})(0) + 16| = |4 + 20 + 0 + 16| = |40| = 40$.

Расстояние $d_4 = \frac{40}{8} = 5$.

Ответ: $4$ и $5$.