Страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

194. Найдите площади диагональных сечений пирамиды, основание которой – квадрат со стороной 8 см, если две соседние боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, а каждая из остальных наклонена к нему под углом 30°.

Дано:

пирамида $SABCD$, основание $ABCD$ — квадрат,

сторона квадрата $a = 8$ см,

боковые грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$,

боковые грани $SBC$ и $SCD$ наклонены к плоскости основания под углом $\alpha = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 8$ см $= 0.08$ м.

$\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ рад.

Найти:

площади диагональных сечений $S_{SAC}$ и $S_{SBD}$.

Решение:

Определение высоты пирамиды

Поскольку две соседние боковые грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, их общая линия пересечения $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим $H = SA$.

Угол между плоскостью грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $30^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является сторона $BC$. В основании $ABCD$ (квадрат) $AB \perp BC$. Поскольку $SA$ является высотой пирамиды, $SA \perp AB$ и $SA \perp BC$. Так как $AB \perp BC$ (в основании) и $SA \perp BC$ (так как $SA \perp$ плоскости $ABCD$), то по теореме о трех перпендикулярах, $SB \perp BC$. Следовательно, угол между гранью $SBC$ и основанием $ABCD$ – это угол $\angle SBA$. По условию, $\angle SBA = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAB$ (катет $SA$ перпендикулярен катету $AB$):

$SA = AB \cdot \tan(\angle SBA)$

$H = a \cdot \tan(30^\circ)$

$H = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь первого диагонального сечения

Первое диагональное сечение – это треугольник $SAC$.

Его основанием является диагональ квадрата $AC$. Длина диагонали квадрата $AC = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Высота этого треугольника – высота пирамиды $SA = H$, так как $SA \perp AC$ (поскольку $SA \perp$ плоскости $ABCD$, а $AC$ лежит в этой плоскости).

Площадь $S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SA$

$S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2}) \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}$

$S_{SAC} = \frac{64\sqrt{6}}{6} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{SAC} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Площадь второго диагонального сечения

Второе диагональное сечение – это треугольник $SBD$.

Его основанием является диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали квадрата $BD = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения высоты $\triangle SBD$ (опущенной из вершины $S$ на $BD$) проведем из точки $A$ (основания высоты пирамиды) перпендикуляр к диагонали $BD$. В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO \perp BD$.

Поскольку $SA \perp$ плоскости $ABCD$ и $AO \perp BD$, то по теореме о трех перпендикулярах, $SO \perp BD$. Значит, $SO$ – высота треугольника $SBD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ (катет $SA$ перпендикулярен катету $AO$):

Длина отрезка $AO$ – это половина диагонали квадрата: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Высота $SO = \sqrt{SA^2 + AO^2}$

$SO = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (4\sqrt{2})^2}$

$SO = \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{9} + 16 \cdot 2} = \sqrt{\frac{64}{3} + 32} = \sqrt{\frac{64+96}{3}} = \sqrt{\frac{160}{3}}$

$SO = \frac{\sqrt{160 \cdot 3}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{480}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 30}}{3} = \frac{4\sqrt{30}}{3}$ см.

Площадь $S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SO$

$S_{SBD} = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2}) \cdot \frac{4\sqrt{30}}{3}$

$S_{SBD} = \frac{16\sqrt{60}}{3} = \frac{16\sqrt{4 \cdot 15}}{3} = \frac{16 \cdot 2\sqrt{15}}{3} = \frac{32\sqrt{15}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{SBD} = \frac{32\sqrt{15}}{3}$ см$^2$.

195. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник со сторонами $AC = 13$м, $AB = 15$м, $BC = 14$м. Боковое ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания и равно 9м. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

Пирамида $DABC$.

Основание: треугольник $ABC$.

Стороны основания: $AC = 13 \text{ м}$, $AB = 15 \text{ м}$, $BC = 14 \text{ м}$.

Высота пирамиды (боковое ребро): $DA = 9 \text{ м}$.

Ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в метрах, что соответствует системе СИ. Перевод не требуется.

$AC = 13 \text{ м}$

$AB = 15 \text{ м}$

$BC = 14 \text{ м}$

$DA = 9 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Основание - треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC = 14 \text{ м}$, $b = AC = 13 \text{ м}$, $c = AB = 15 \text{ м}$.

Используем формулу Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ м}$

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{p(p-AC)(p-AB)(p-BC)}$

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}$

$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7}$

$S_{осн} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7}$

$S_{осн} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \text{ м}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $\triangle DAB$, $\triangle DAC$, $\triangle DBC$.

Поскольку ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания, то $DA$ перпендикулярно $AB$ и $AC$.

a) Площадь треугольника $DAB$:

Треугольник $DAB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 = \frac{135}{2} = 67.5 \text{ м}^2$

b) Площадь треугольника $DAC$:

Треугольник $DAC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

$S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = \frac{117}{2} = 58.5 \text{ м}^2$

c) Площадь треугольника $DBC$:

Для нахождения площади $\triangle DBC$ нам нужна высота, опущенная из вершины $D$ на сторону $BC$. Пусть $AH$ - высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $BC$.

Найдем $AH$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH$

$84 = 7 \cdot AH$

$AH = \frac{84}{7} = 12 \text{ м}$

Поскольку $DA \perp \text{плоскости } ABC$ и $AH \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $DH \perp BC$. Значит, $DH$ - высота $\triangle DBC$, опущенная на сторону $BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAH$ (прямой угол при вершине $A$).

$DH = \sqrt{DA^2 + AH^2}$

$DH = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ м}$

Теперь найдем площадь $\triangle DBC$:

$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 7 \cdot 15 = 105 \text{ м}^2$

3. Найдем полную площадь поверхности $S_{полн}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC}$

$S_{полн} = 84 + 67.5 + 58.5 + 105$

$S_{полн} = 84 + (67.5 + 58.5) + 105$

$S_{полн} = 84 + 126 + 105$

$S_{полн} = 210 + 105 = 315 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна $315 \text{ м}^2$.

196. Основание пирамиды – ромб, диагонали которого равны 6 м и 8 м. Основанием высоты пирамиды, равной 1 м, является точка пересечения диагоналей ромба. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

$d_1 = 6 \text{ м}$

$d_2 = 8 \text{ м}$

$h = 1 \text{ м}$

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), перевод не требуется.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{full}$).

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{full}$ состоит из площади основания $S_{base}$ и площади боковой поверхности $S_{lateral}$.

1. Находим площадь основания пирамиды ($S_{base}$):

Основание пирамиды - ромб. Площадь ромба вычисляется по формуле: $S_{base} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Подставляем значения: $S_{base} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} = 24 \text{ м}^2$.

2. Находим сторону ромба ($a$):

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ м}$

По теореме Пифагора находим сторону ромба $a$: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$.

$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

$a = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

3. Находим апофему основания ромба ($h_{base}$), т.е. расстояние от центра ромба до его стороны:

Площадь ромба также может быть выражена как произведение стороны на высоту: $S_{base} = a \cdot H_{rhombus}$, где $H_{rhombus}$ - высота ромба.

$24 \text{ м}^2 = 5 \text{ м} \cdot H_{rhombus}$.

$H_{rhombus} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ м}$.

Расстояние от центра ромба до любой из его сторон ($h_{base}$) равно половине высоты ромба: $h_{base} = \frac{H_{rhombus}}{2}$.

$h_{base} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ м}$.

4. Находим апофему боковой грани пирамиды ($l$ - наклонную высоту):

Апофема боковой грани $l$, высота пирамиды $h$, и расстояние от центра основания до стороны ромба $h_{base}$ образуют прямоугольный треугольник. Высота пирамиды перпендикулярна основанию.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + h_{base}^2$.

$l^2 = 1^2 + (2.4)^2 = 1 + 5.76 = 6.76$.

$l = \sqrt{6.76} = 2.6 \text{ м}$.

5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{lateral}$):

Поскольку основание пирамиды - ромб, и высота опускается в центр ромба, все четыре боковые грани являются равными треугольниками. Площадь одной боковой грани $S_{face} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{апофема} = \frac{1}{2} a l$.

Площадь боковой поверхности: $S_{lateral} = 4 \cdot S_{face} = 4 \cdot \frac{1}{2} a l = 2 a l$.

$S_{lateral} = 2 \cdot 5 \text{ м} \cdot 2.6 \text{ м} = 10 \cdot 2.6 \text{ м}^2 = 26 \text{ м}^2$.

6. Находим площадь полной поверхности пирамиды ($S_{full}$):

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{full} = S_{base} + S_{lateral}$.

$S_{full} = 24 \text{ м}^2 + 26 \text{ м}^2 = 50 \text{ м}^2$.

Ответ: 50 м$^2$.

197. Сравните площади полных поверхностей куба, правильного октаэдра и правильного икосаэдра, ребро каждого из которых равно $a$.

Дано:

Куб, правильный октаэдр, правильный икосаэдр. Длина ребра каждого многогранника $a$.

Все данные уже представлены в одной системе измерения (например, в метрах, если $a$ в метрах). Перевод в СИ не требуется, так как $a$ является общим параметром.

Найти:

Сравнить площади полных поверхностей $S_{куба}$, $S_{октаэдра}$, $S_{икосаэдра}$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба:

Куб имеет 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$.

Площадь полной поверхности куба $S_{куба}$ вычисляется по формуле:

$S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6a^2$

Площадь полной поверхности правильного октаэдра:

Правильный октаэдр имеет 8 граней, каждая из которых является правильным треугольником со стороной $a$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$A_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Площадь полной поверхности октаэдра $S_{октаэдра}$ вычисляется как 8 площадей таких треугольников:

$S_{октаэдра} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$

Площадь полной поверхности правильного икосаэдра:

Правильный икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых является правильным треугольником со стороной $a$. Площадь одной грани также равна $A_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь полной поверхности икосаэдра $S_{икосаэдра}$ вычисляется как 20 площадей таких треугольников:

$S_{икосаэдра} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 5\sqrt{3} a^2$

Сравнение площадей:

Теперь сравним полученные значения:

$S_{куба} = 6a^2$

$S_{октаэдра} = 2\sqrt{3} a^2$

$S_{икосаэдра} = 5\sqrt{3} a^2$

Для сравнения переведем $\sqrt{3}$ в десятичное приближение: $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$S_{куба} = 6a^2$

$S_{октаэдра} \approx 2 \cdot 1.73205 a^2 \approx 3.46410 a^2$

$S_{икосаэдра} \approx 5 \cdot 1.73205 a^2 \approx 8.66025 a^2$

Сравнивая числовые коэффициенты при $a^2$:

$3.46410 < 6 < 8.66025$

Следовательно, в порядке возрастания площади поверхности: $S_{октаэдра} < S_{куба} < S_{икосаэдра}$.

Ответ:

Площадь поверхности октаэдра меньше площади поверхности куба, которая, в свою очередь, меньше площади поверхности икосаэдра. То есть $S_{октаэдра} < S_{куба} < S_{икосаэдра}$.